e^(lna+lnb)=
(e^lna)(e^lnb)=
ab=e^lnab
所以,lna+lnb=lnab。
对数函数
6类 基本初等函数之一。
对数的定义:一般地,如果a x=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x= log aN,读作以a为底N的 对数,其中a叫做对数的 底数,N叫做 真数。
一般地,函数y=log ax(a>0,且a≠1)叫做对数函数,也就是说以 幂( 真数)为 自变量,指数为 因变量,底数为 常量的函数,叫对数函数。
其中x是自变量,函数的 定义域是(0,+∞),即x>0。它实际上就是指数函数的 反函数,可表示为x=a y。因此指数函 [1] 数里对于a的规定,同样适用于对数函数。
1实际应用
编辑
对数应用
在 实数域中,真数式子没 根号那就只要求真数式大于零,如果有根号,要求真数大于零还要保证根号里的式子大于等于零(若为负数,则值为虚数), 底数则要大于0且不为1。
对数函数对数函数的底数为什么要大于0且不为1?【在一个普通对数式里 a<0,或=1 的时候是会有相应b的值。但是,根据对数定义: log以a为底a的对数;如果a=1或=0那么log以a为底a的对数就可以等于一切 实数(比如log 11也可以等于2,3,4,5,等等)】
通常我们将以10为底的对数叫 常用对数(common logarithm),并把log 10N记为lgN。另外,在科学计数中常使用以 无理数e=2.71828···为底数的对数,以e为底的 对数称为 自然对数 (natural logarithm),并且把 logeN 记为 In N。
不等于1的正实数,这个定义可以扩展到在一个域中的任何实数
对数可以简化 乘法运算为 加法,除法为 减法, 幂运算为 乘法,根运算为 除法。所以,在发明 电子计算机之前,对数对进行冗长的数值运算是很有用的,它们广泛的用于天文、工程、航海和测绘等领域中。它们有重要的数学性质而在今天仍在广泛使用中。
产生历史
16世纪末至17世纪初的时候,当时在自然科学领域(特别是天文学)的发展上经常遇到大量精密而又庞大的数值计算,于是数学家们为了寻求化简的计算方法而发明了对数。
德国的史蒂非(1487-1567)在1544年所著的《 整数算术》中,写出了两个 数列,左边是 等比数列(叫原数),右边是一个等差数列(叫原数的代表,或称指数,德文是Exponent ,有代表之意)。
欲求左边任两数的积(商),只要先求出其代表(指数)的和(差),然后再把这个和(差)对向左边的一个原数,则此原数即为所求之 积( 商),可惜史提非并未作进一步探索,没有引入对数的概念。
纳皮尔对数值计算颇有研究。他所制造的「纳皮尔算筹」, 化简了乘除法运算,其原理就是用加减来代替乘除法。 他发明对数的动机是为寻求 球面三角计算的简便方法,他依据一种非常独等的与质点运动有关的设想构造出所谓对数方法,其核心思想表现为算术数列与几何数列之间的联系。在他的1619年发表《奇妙的 对数表的描述》中阐明了对数原理,后人称为 纳 对数函数皮尔对数,记为Nap.㏒x,它与自然对数的关系为:
Nap.㏒x=10㏑(107/x)
由此可知,纳皮尔对数既不是自然对数,也不是常用对数,与现今的对数有一定的距离。
瑞士的彪奇(1552-1632)也独立地发现了 对数,可能比纳皮尔较早,但发表较迟(1620)。
英国的 布里格斯在1624年创造了常用对数。
1619年,伦敦斯彼得所著的《新对数》使对数与自然对数更接近(以e=2.71828...为底)。
对数的发明为当时社会的发展起了重要的影响,简化了行星轨道运算问题。正如科学家 伽利略(1564-1642)说:「给我时间, 空间和对数,我可以创造出一个宇宙」。 又如十八世纪数学家 拉普拉斯( 1749-1827)亦提到:「对数用缩短计算的时间来使天文学家的寿命加倍」。
最早传入我国的对数著作是《比例 与对数》,它是由波兰的 穆尼斯(1611-1656)和我国的 薛凤祚在17世纪中叶合 编而成的。当时在lg2=0.3010中,2叫 真数,0.3010叫做 假数,真数与假数对列成表,故称对数表。后来改用假数为 对数」。
我国清代的数学家 戴煦(1805-1860)发展了多种求对数的捷法,著有《 对数 简 法》(1845)、《续对数简法》(1846)等。1854年,英国的数学家 艾约瑟(1825-1905)看到这些著作后,大为叹服。
当今中学数学教科书是先讲「 指数」,后以 反函数形式引出「对数」的概念。但在历史上,恰恰相反,对数概念不是来自指数,因为当时尚无分指数及无理指数的明确概念。布里格斯曾向纳皮尔提出用幂指数表示对数的建议。1742年,J.威廉(1675-1749)在给G.威廉的《 对数表》所写的前言中作出指数可定义对数。而欧拉在他的名著《 无穷小分析寻论》(1748)中明确提出对数函数是 指数函数的逆函数,和21世纪的教科书中的提法一致。