一种更常见形式的三次样条插值的公式推导及C++实现

Question

如题所述

Answer 1

在工程设计中，为了获得更高精度且具有二阶光滑性的模型，三次样条插值被广泛应用，尤其是在飞机机翼和船舶设计等场合。早期，通过物理样条（木条）的形态来描绘曲线，如今则是数学模型的体现。三次样条函数由多个分段的三次多项式组成，每段有四个待定系数，需要满足一定的边界条件，确保曲线在节点间的连续性和光滑性。

函数形式定义为：给定[公式]节点数据点，要求每个子区间[公式]上的[公式]满足特定条件。条件1要求[公式]和[公式]，条件2要求[公式]和[公式]。总共[公式]个未知数，通过[公式]和[公式]条件给出了[公式]个约束，还需两个额外约束。常见的边界条件包括：一是两端点的一阶导数[公式]，二是两端点的二阶导数[公式]，特殊情况即自然边界条件[公式]。

具体求解过程涉及子区间插值函数的系数推导，通过代数运算，可以得到[公式]和[公式]的表达式。对于两类边界条件，一阶导数条件下的矩阵形式为[公式]，二阶导数条件下的矩阵形式为[公式]。

在C++编程中，可以利用Eigen库实现三次样条插值。从CMakeLists.txt文件开始，创建样条插值类，编写测试用例并输出结果。这个过程无需复杂库，仅依赖C++标准库和Eigen，具有良好的移植性。具体的实现和用例可以参考李庆扬等人的《数值分析-第5版》，清华大学出版社。