不定积分的计算公式是什么？

Question

如题所述

Answer 1

xtanx的不定积分是-x²/2+xtanx+ln|zdcosx|+C。（C为积分常数）

∫ xtan²x dx

= ∫ x(sec²x-1) dx

= ∫ xsec²x dx - ∫ x dx

= ∫ x dtanx - x²/2

= -x²/2 + xtanx - ∫ tanx dx

= -x²/2 + xtanx - ∫ sinx/cosx dx

= -x²/2 + xtanx - ∫ d(-cosx)/cosx

= -x²/2 + xtanx + ln|cosx| + C

不定积分的公式：

1、∫adx=ax+C，a和C都是常数

2、∫x^adx=[x^(a+1)]/(a+1)+C，其中a为常数且a≠-1

3、∫1/xdx=ln|x|+C

4、∫a^xdx=(1/lna)a^x+C，其中a>0且a≠1

5、∫e^xdx=e^x+C

6、∫cosxdx=sinx+C

7、∫sinxdx=-cosx+C

8、∫cotxdx=ln|sinx|+C=-ln|cscx|+C

Answer 2

例如函数y1=7-5x^2与y2=x^2-x-2围成的区域面积

主要内容：

本文主要通过微积分定积分的知识，介绍二次函数y1=7-5x^2与y2=x^2-x-2围成的区域面积的主要计算步骤和过程。

                                   

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主要步骤：

※.先求出两函数的交点。

联立方程y1和y2，求出二者的交点。

7-5x^2=x^2-x-2

6x^2-x-9=0,由二次方程的求根公式得：

x1=(1-√217)/12，

x2= (1+√217)/12，

则x2-x1=√217/6，

并由韦达定理得：

x1+x2=1/6，

x1*x2=-3/2。

                                   

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※.定积分求面积。

S=∫[x1,x2](y1-y2)dx

=∫[x1,x2][7-5x^2-(x^2-x-2)]dx

=∫[x1,x2](7-5x^2-x^2+x+2)dx

=∫[x1,x2](-6x^2+x+9)dx

=(-2/1)x^3+(1/2)x^2+9x[x1,x2]

=(-2/1)(x2^3-x1^3)+(1/2)(x2^2-x1^2)+9(x2-x1)

                                   

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利用立方差和平方和因式分解，进一步化简得：

S=(-2/1)(x2-x1)(x^2+x1x2+x1^2)+(1/2)(x2-x1)(x2+x1)+9(x2-x1)

=(x2-x1){ (-2/1)[(x1+x2)^2-x1x2]+(1/2)*(1/6)+9}

=√217/6*{ (-2/1)[(1/6)^2+3/2]+(1/2)*1/6+9}

=√217/6*(36/217)

=6√217/217。