数学难题求解，牛人来

Question

已知正整数a,b，其中2a>b，且b不是完全平方数。
2an+n^2+b是完全平方数。
如何求正整数n？
各位误解我题目的意思了，我当然知道满足条件的a,b,n值有无限多，也知道对应任一组a 、b 值，都有有限个n值满足条件。我的意思是，a,b 都是已知数，而n是未知数。我是想问，如何从给定的a 和b,利用某种方法或某个式子来推导出满足条件的n的值。打个很简单的比如，假如a=17,b=13,你能马上告诉我满足条件的n有多少个、n值分别是多少吗？

Answer 1

楼主可以这样做：

首先，2an+n^2+b = (n+a)^2 - (a^2 - b)
如果他是完全平方数，不妨设其为m^2。
即(n+a)^2 - (a^2 - b) = m^2
那么移项合并有
(n+a+m) * (n+a-m) = a^2 - b
假设A = a^2 - b，需要把A做成p*q的形式，其中p>q且p和q需要具有相同的奇偶性。
这样就有：
p = n+a+m
q = n+a-m
所以
m = (p-q)/2
n = (p+q)/2 - a

也就是说，如果给出已知的a和b的话，先求出a^2-b，然后做因式分解，取出两个因子奇偶性相同的这些取值。
比如a=17,b=13的话，a^2-b=17*17-13 = 276
276拆分成相同奇偶性的两个整数相乘可以是：
2*138或者6*46，其他类似4*69和12*23都舍去。
把(2,138)和(6,46)代入求m,n，
得到m=68,n=53，或者m=20,n=9。
也就是说，当a=17,b=13时，可能的n有两个，分别是9或者53。
此时2an+n^2+b的值分别是20的平方或者68的平方。

特别的，如果b=a^2的话，n的取值就真的可以有无数多了。

Answer 2

解：要为完全平方数 (a+b)²=a²+2ab+b²
与原式 2an+n²+b 对照有：
因为b不是完全平方数
对应顺序n²+2an+b不成立
所以对应的顺序为：
n²+b+2an
这样b=2n√(2an)
b²=8an³
n=½(b²/a)^(1/3) 其中n，a b 为正整数，且b不为完全平方数
例如 当n=1时，只需b²=8a 可取a=8 b=8

Answer 3

2an+n^2+b=t^2
(n+a)^2+b-a^2=t^2
记m=n+a c=a^2-b
则 m^2-t^2=c
(m+t)(m-t)=c
若a=1 由2a>b知 b=1 而b不是完全平方数 矛盾
故a>1 a^2>=2a>b 即c>0 由于m+t>a
求出c的所有大于a的约数 c1,c2,···cs=c 记 di=c/ci i=1,2,···，s
由c=a^2-b<a^2知 ci>di
将c表示成 c=c1 d1=c2d2=···=cs*1
令U={i|满足ci,di同奇偶 1<=i<=s}
下证 对于任意j属于U 有cj+dj>2a
若不然 则cj+dj<=2a
若cj+dj=2a
则cj=a+x dj=a-x x为正整数
cj dj=a^2-x^2 则b=x^2 矛盾
故cj+dj<=2a-2 (cj+dj必然为偶数)
当cj+dj和一定时 只有当cj-dj越小时 cjdj越大
不妨设cj+dj=2a-2 则c=cjdj<=a(a-2)=a^2-2a<a^2-2b<c 矛盾
当cj+dj<2a-2时 cjdj更小于a(a-2) 也矛盾
故必有cj+dj>2a

(m+t)(m-t)=c等价于
m+t=ci
m-t=di 同时成立
即m=(ci+di)/2 t=(ci-di)/2
n=(m-a)=[(ci+di)/2] -a>0 （由cj+dj>2a）
其中i属于U
即满足条件的n的个数为U的元素个数，且n值如上所示。

Answer 4

n=3，b=13，a=7.答案成立，你试试。
n=1，b=17，a=9也成立。

n=3,b=33,a=17;
n=7,b=25,a=13;
……
无穷个答案

Answer 5

由已知条件推的（n+a）^2=a^2-b，且a^2-b大于等于0，根据上式就能在知道ab值时马上算出n值有几个各为多少。

Answer 6

n的值是未知数X哈- -这个绝对正确。。。。X可以代表所有数字哈