求一道高一数学三角函数题的解

Question

已知函数f(x)=cosx*根号（1+sinx/1-sinx）+sinx*根号(1+cosx/1-cosx)
（1）当x∈(-π/2,0)时，化简f(x)的解析式并求f(-π/4)的值
（2）当x∈(π/2,π)时，求函数f(x)的值域

（是不是看起题来有点费劲？麻烦大家了！）

Answer 1

因为1+sinx/1-sinx=(1+sinx)^2/(1-sinx)(1+sinx)=(1+sinx)^2/(1-sinx^2)=(1+sinx)^2/cosx^2
所以cosx*根号（1+sinx/1-sinx）
=cosx*（1+sinx）/绝对值cosx=1+sinx （在第四象限cosx为正）
同理sinx*根号(1+cosx/1-cosx)=-1-cosx （在第四象限，sinx为负）
所以f（x）=sinx-cosx=根2sin(x-π/4)
从而f(-π/4)=根2sin(-π/4-π/4)=-根2

2）x∈(π/2,π)
则x-π/4∈(π/4,3π/4)
则sin(x-π/4)∈（-根2/2,1]
则根2sin(x-π/4)∈（-1,根2]
这个就是答案了
纯粹手打，希望能帮到你，请采纳，谢谢

Answer 2

f(x)=cosx*√[(1+sinx)/(1-sinx)]+sinx*√[(1+cosx)/(1-cosx)]
=cosx*√[(1+sinx)(1+sinx)/(1-sinx)(1+sinx)]+sinx*√[(1+cosx)(1+cosx)/(1-cosx)(1+cosx)]
=cosx * (1+sinx)/|cosx| +sinx*(1+cosx)/|sinx|
1)x∈(-π/2,0)，在第三象限，则cosx为负，sinx也为负
则f(x)= - 1-sinx-1-cosx = 2-sinx-cosx
f(-π/4)=2 -√2/2-√2/2=2-√2

2)x∈(π/2,π)，在第二象限，则cosx为负，sinx也为正
则f(x)= -1-sinx+1+cosx = cosx -sinx = -√2 sin(x-π/4)
x∈(π/2,π)，则x-π/4 ∈(π/4,3π/4)
sin(x-π/4)∈(√2/2,1)
则-√2 sin(x-π/4)∈(-√2, -1〕
即当x∈(π/2,π)时，求函数f(x)的值域为(-√2, -1〕

Answer 3

f(x)=cosx*√[(1+sinx)/(1-sinx)]+sinx*√[(1+cosx)/(1-cosx)]
=cosx*√[(1+sinx)(1+sinx)/(1-sinx)(1+sinx)]+sinx*√[(1+cosx)(1+cosx)/(1-cosx)(1+cosx)]
=cosx * (1+sinx)/|cosx| +sinx*(1+cosx)/|sinx|
1).x∈(-π/2,0)，在第四象限，则cosx为正，sinx为负
则f(x)=cosx * (1+sinx)/cosx - sinx*(1+cosx)/sinx=1+sin(x)-1-cos(x)=sin(x)-cos(x)
当x=-π/4时，f(-π/4)=-√2
2)x∈(π/2,π)，在第二象限，则cosx为负，sinx也为正
则f(x)= -1-sinx+1+cosx = cosx -sinx=√2sin(x-π/4)
则f(x)的值域是[-√2,√2]