函数fx=ex,gx=lnx+2

Question

函数fx=ex,gx=lnx+2

Answer 1

函数f(x)=e^x，g(x)=lnx+2
试证明：f(x)>g(x)
证明：
设h(x)=e^x-(lnx+2)(x>0)
则，h'(x)=e^x-1/x
令h'(x0)=0
显然，x0=1和x0>1均不符合
∴ 0<x0<1
0<x<x0时， h'(x)<0，h(x)单调递减
x>x0时， h'(x)>0，h(x)单调递增
∴
h(x)在x=x0处取得极小值，同时也是最小值
h(x)_min
=h(x0)
=(1/x0)+x0-2
>2-2(均值不等式)
=0
∴ h(x)≥h(x)_min>0
∴ e^x>(lnx+2)
即， f(x)>g(x)
证毕。
PS：
附上f(x)和g(x)的函数图
附上h(x)的函数图追答