高一数学函数 设函数f(x)的定义域为R，对于任意实数m,n总有f(m+n)=f(m)*f(n),且x>0时, 0<f(x)<1

Question

1.证明：f(0)=1
2.证明：f(x)在R上单调递减
3.设A={（x,y）| f(x^2)*f(y^2)>f(1)}, B={（x,y）| f(ax-y+2)=1}, 若A∩B=?，试确定a的取值范围

Answer 1

1
函数f(x)的定义域为R，对于任意实数m,n总有f(m+n)=f(m)*f(n),且x>0时, 0<f(x)<1
f(2m)=f(m)^2
f(3m)=f(m)^3
f(2m)=f(3m-m)=f(3m)*f(-m)
f(-m)=f(2m)/f(3m)=1/f(m)
f(m)f(-m)=1
f(0)=f(m-m)=f(m)f(-m)=1

2
x>0时,0<f(x)<1
对任意x1,x2,且x1>x2时
x1-x2>0,f(x1-x2)<1
f(x1)=f(x1-x2)f(x2)
f(x1-x2)=f(x1)/f(x2)
f(x1)/f(x2)<1
f(x1)<f(x2)
f(x)单调递减
3
设A={（x,y）| f(x^2)*f(y^2)>f(1)}, B={（x,y）| f(ax-y+2)=1},
f(0)=1
B={（x,y）| f(ax-y+2)=f(0)},
ax-y+2=0
y=ax+2,y^2=a^2x^2+4ax+4
f(x^2)*f(y^2)=f(x^2+a^2x^2+4ax+4>f(1)},
x^2+a^2x^2+4ax+4<1
(a^2+1)x^2+4ax+3<0
若A∩B=φ,方程无解
判别式
16a^2-12a^2-12<0
a^2<12
|a|<2√3
-2√3<a<2√3

Answer 2

1.令m=1,n=0,带入f(m+n)=f(m)*f(n),得f(1)=f(1)f(0),
因为f(1)>0,所以f(0)=0;
2设x1,x2属于R,且x1<x2
f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)
因为x2-x1>0所以f(x2)-f(x1)>0;
即f(x)在x>=0时单调递减；
3由题意知A={(x,y)|x^2+y^2<1};b={(x,y)|ax-y+2=0}
当A∩B=空集时，方程组x^2*y^2<1 ax-y+2=0无解
即圆与直线不想交
所以|2|/(a^2+1)>=1;所以-1<=a<=1.

Answer 3

1 证明：对于任意实数m,n总有f(m+n)=f(m)*f(n),
所以，f(1+0)=f(1)*f(0),即f(1)=f(1)*f(0),
因为1>0,所以f（1）不等于0，
所以f(0)=1。
2 证明，设x1<x2, x1、x2是实数，

Answer 4

，f(1+0)=f(1)*f(0),即f(1)=f(1)*f(0),
因为1>0,所以f（1）不等于0，
所以f(0)=1。