宇宙速度的推导

Question

以月球为出发点，推导第一、第二、第三、第四 宇宙速度分别为多少？

提醒注意：自己不懂却善于网络搜索的人还是不要参与了。这道题必须要真正懂的人才能回答得出。网上找不到的。别浪费精力转载了。

奖励分 后补，如果有好的回答的话。
一楼 小零YOYO - 江湖新秀 四级 ，感谢你的回答。但是觉得你连中国话都读不懂。你连题目都不读，就来回答，这是对我的不尊重。就你这点智商，还是别跟着凑热闹了。
二楼 gorilla16 - 同进士出身 六级，请看清题目。我是说在月球上。你这带绿字的智商也很普通。

Answer 1

首先，我要很清楚地解释什么叫“第N宇宙速度”（以地球为中心）：
当N=1时，这个就是物体在地球的引力范围内，环绕地球所具备的最小发射的速度。
当N=2时，这个就是物体逃离地球的引力范围，在太阳的引力范围内运动所具备的最小发射的速度。
当N=3时，这个就是物体逃离太阳的引力范围，在银河系的引力范围内运动所具备的最小发射的速度。
当N=4时，这个就是物体逃离银河系的引力范围，在总星系的引力范围内运动所具备的最小发射的速度。

上面四个定义，都有“最小”和“发射”两个词，缺一不可。“最小”可以理解，不说“发射”难道还不行？就是不行，等一会你就知道为什么了。还有，在N=2，3，4时，说的都是物体脱离某个东西的“引力范围”，而N=1却没有强调这点。这也注定了1速度和2-4速度有本质的不一样。

解这道题时，还需要一大堆物理量，我用的数值是
日地月的质量(kg)分别是 1.989e30, 5.974e24, 7.36e22
地月的半径为(km)分别是 6378.14, 1737.4
地月的运行速度(km/s)分别是 29.79, 1.03
日地距离为 1.496e8 km，地月距离为 3.8e5 km

还有牛顿的引力定律，这是最重要的
F = G*M*m / r^2
G = 6.67e-11 N m^2/kg^2

还有一些符号，例如
1. x^3 就是等于 x 的三次方, x*x*x
2. “定积分[2x, (1,3)]”，就是求等于方程 y=2x ，在定义域1到3的定积分的值，也就是等于 3*3 – 1*1 = 8

下面正式开讲：

1. 月球的第一宇宙速度

就是要环月飞行嘛。那么这个物体的向心加速度，就要等于月球的重力加速度g。这个 g 怎么求，人人都说是约等于地球的六分之一。我也知道，但我问的是怎么求。

在月球表面，物体受到的重力，就等于月球作用在物体上的万有引力
F = G*M*m / r^2 = m*g
约掉m，g = G*M / r^2，M取月球质量，r取月球半径，在表面上嘛（注意单位，要用米而不是千米，下同），
g = G*月球质量 / 月球半径^2 = 1.626 m/s^2，果然是9.8的六分之一。

回到第一句话“物体的向心加速度，就等于月球的重力加速度g”，就是
v^2 / r = g
所以，v = 根号[g*月球半径] = 1.68 km/s

最后，月球的第一宇宙速度 = 1.68 km/s

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2. 月球的第二宇宙速度

刚刚说了，1速度和其它的2-4速度有本质的不同。所以在这里我必须要先说地球的第二宇宙速度。

如果学了大学物理，应该知道力的积分就是能量，能量的微分就是力，我就不多作解释了。根据万有引力的公式，那么把一个物体从一处A移到另一处B所需要的能量是
定积分[F(r),(A,B)] = 定积分[G*M*m / r^2，(A,B)] = -G*M*m/r(A) + G*M*m/r(B)
如果把物体m从地球表面移到无穷远，所需要的能量是
-G*M*m/地球半径 + G*M*m/无穷大 = -G*地球质量*m/地球半径
为什么是负的呢？因为物体要吸收能量。先不管符号了，这个能量应该要等于物体的动能
G*地球质量*m/地球半径 = 0.5*m*v^2
约掉m，得 v = 根号[2*G*地球质量/地球半径] = 11.18 km/s
行，网上也是这么说的。这个速度也叫地球的“逃逸速度”。现在求地球的第三宇宙速度。我知道还有个“月球第二宇宙速度”没求，别着急。

第三速度，不就是逃离太阳嘛，根据上三行的公式，那应该等于 根号[2*G*太阳质量/太阳半径]。不对，这个是从太阳“表面”逃逸的速度，而我们是在地球表面上，从地表上发射。这就是我为什么一直在强调“发射”。
正确的应该是，
定积分[F(r),(日地距离,无穷远)] = -G*M*m/日地距离+ G*M*m/无穷大 = -G*太阳质量*m/日地距离
所以，v =根号[2*G*太阳质量/日地距离] = 42.11 km/s

这个该是第三速度了吧？也不是！要从地表逃离太阳系，必须有足够的能量脱离地球的引力和太阳的引力，速度和能量的转换是 E = 0.5m*v^2。刚刚所求出的 42.11 km/s，它所对应得能量是“在地表脱离太阳引力的能量”，而第二速度 11.18 km/s 所对应得能量是“在地表脱离地球引力的能量”，两者的能量和所对应的速度，才是真正能够逃离的速度，就是
根号[42.11^2 + 11.18^2] = 43.57 km/s

这该是答案了吧？还不是！！！我们找的是“发射”的最小速度，由于地球以 29.79 km/s 的速度围绕太阳而转，如果我们以地球的运动方向发射的话，有大概 30 km/s 的速度就可以省了，所以正确的第三速度是
43.57 – 29.79 = 13.78 km/s

很多中文网站都写 16.67，我不知道是怎么算出来的。讽刺的是，很多英文网站都写13多。我不是崇洋媚外，我只是说，经得起推敲的答案才是正确答案。看来我们要养成独立思考得习惯啊。上面两位，回答问题也不能光抄不想啊。

好了，不自吹了。回到月球的第二宇宙速度，就是要脱离月球表面，到太阳系遨游的“发射速度”。从刚才的分析得知，我们先要找一个速度，它所对应的能量，是“从月表脱离月球引力的能量”，加上“从月表脱离地球引力的能量”。前者是
定积分[F(r),(月球表面,无穷远)] = -G*M*m/月球半径 = -G*月球质量*m/月球半径，
所对应得速度是 v = 根号[2*G*月球质量/月球半径] = 2.38 km/s
后者所对应得速度是 v = 根号[2*G*地球质量/地月距离] = 1.45 km/s
这两个速度合并，v = 根号[2.38^2 + 1.45^2] = 2.78 km/s
由于月球以 1.03 km/s 的速度围绕地球而行，所以“最小发射”速度是
2.78 – 1.03 = 1.75 km/s, 就是“月球的第三速度”

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3. 月球的第三宇宙速度

晕，进展很慢哟。幸好，有了上面的基础，我们得知，现在要先求某个速度，它所对应的能量是“从月表脱离月球引力的能量”，加上“从月表脱离地球引力的能量”，加上“从月表脱离太阳引力的能量”。其中，第三项也等于“从地表脱离太阳引力的能量”，因为日地距离要大大超过地月距离。所以，这个“某个速度”是
v = 根号[1.45^2 + 2.38^2 + 42.11^2] = 42.2 km/s，然后减去 1.03 km/s （不用解释了吧），得 41.2 km/s，也就是“月球的第三宇宙速度”

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4. 月球的第四宇宙速度

其实就是地球的第四宇宙速度，因为比起银河系的引力，月球的引力算个鸟？由于科学家对银河系的质量和半径尚未清楚，所以估计为 110-220 km/s。这个的确是抄的，没法算，不过原理根上面的一样。这个就留着给大家去拿诺贝尔奖吧。

Answer 2

宇宙速度
源自维基百科（本文在GFDL版权协议下发布，参见http://www.gnu.org/licenses/fdl.html）

宇宙速度是指物体达到11.2千米/秒的运动速度时能摆脱地球引力束缚的一种速度。在摆脱地球束缚的过程中，在地球引力的作用下它并不是直线飞离地球，而是按抛物线飞行。脱离地球引力后在太阳引力作用下绕太阳运行。若要摆脱太阳引力的束缚飞出太阳系，物体的运动速度必须达到16.7千米/秒。那时将按双曲线轨迹飞离地球，而相对太阳来说它将沿抛物线飞离太阳。

人类的航天活动，并不是一味地要逃离地球。特别是当前的应用航天器，需要绕地球飞行，即让航天器作圆周运动。众所周知，必须始终有一个力作用在航天器上。其大小等于该航天器运行线速度的平方乘以其质量再除以公转半径，即F=mv^2/R.在这里，正好可以利用地球的引力。因为地球对物体的引力，正好与物体作曲线运动的离心力方向相反。

宇宙速度是物体从 地球 出发，在 天体 的 重力场 中运动，四个较有代表性的初始速度砄统称。 航天器 按其任务的不同，需要达到这四个宇堙速度的其中一个。

第一宇宙速度（又称环绕速度）：是指物体紧贴地球表面作圆周运动的速度(也是人造地球卫星的最小发射速度)。大小为7.9km/s ——计算方法是V｀=gR (g是重力加速度，R是星球半径)

第二宇宙速度（又称脱离速度）：是指物体完全摆脱地球引力束缚，飞离地球的所需要的最小初始速度。大小为11.2km/s

第三宇宙速度（又称逃逸速度）：是指在地球上发射的物体摆脱太阳引力束缚，飞出太阳系所需的最小初始速度。其大小为16.7千米/秒。

环绕速度和逃逸速度也可应用于其他天体。例如计算火星的环绕速度和逃逸速度，只需要把公式中的M,R,g换成火星的质量、半径、表面重力加速度即可。

物体达到11.2千米/秒的运动速度时能摆脱地球引力的束缚。在摆脱地球束缚的过程中，在地球引力的作用下它并不是直线飞离地球，而是按抛物线飞行。脱离地球引力后在太阳引力 作用下绕太阳运行。若要摆脱太阳引力的束缚飞出太阳系，物体的运动速度必须达到16.7千/秒。那时将按双曲线轨迹飞离地球，而相对太阳来说它将沿抛物线飞离太阳。人类的航天活动，并不是一味地要逃离地球。特别是当前的应用航天器，需要绕地球飞行，即让航天器作圆周运动。我们知道，必须始终有一个与离心力大小相等，方向相反的力作用 在航天器上。在这里，我们正好可以利用地球的引力。因为地球对物体的引力，正好与物体 作曲线运动的离心力方向相反。经过计算，在地面上，物体的运动速度达到7.9千米/秒时，它所产生的离心力，下好与地球对它的引力相等。这个速度被称为环绕速度。
上述使物体绕地球作圆周运动的速度被称为第一宇宙速度；摆脱地球引力束缚，飞离地球的 速度叫第二宇宙速度；而摆脱太阳引力束缚，飞出太阳系的速度叫第三宇宙速度。根据万有引力定律，两个物体之间引力的大小与它们的距离平方成反比。因此，物体离地球中心的距 离不同，其环绕速度(第一宇宙速主)和脱离速度(第二宇宙速度)有不同的数值。

第一宇宙速度是7.8千米/秒,这样可以绕轨道飞行,第二宇宙速度是11.2千米/秒,可以冲出地球,第三宇宙速度是16.7千米/秒,这样可以飞出太阳系

Answer 3

第一宇宙速度的定义和阐述