高中数学立体几何垂直问题，急急急急

Question

已知正三棱柱ABC- A1B1C1，其侧面对角线分别是AB1、BC1、CA1，且BC1⊥AB1．求证：CA1⊥AB1

没有图，对不起啦

Answer 1

步骤可以详细的。

Answer 2

用几何解法需要平移，我说说向量法吧 因为ABC为等边三角形
以A1为原点，A1C1为X轴，垂直于A1C1方向为y轴，A1A为z轴，设A1A=h,A1C1=a
则各点坐标为C1(a,0,0),B(a/2,√3*a/2,h),A(0,0,h),B1(a/2,√3*a/2,0)
BC1⊥AB1
BC1=(a/2,-√3*a/2,-h),AB1=(a/2,√3*a/2,-h)
BC1*AB1=0
h=√2*a/2
C(a,0,h),A1(0,0,0)
AC1=(a,0,h)
AC1*AB1=(a^2)/2-h^2=0
所以CA1⊥AB1

以A1C1中点为原点建系更简单，你可以试试。
感谢你的求助！！

Answer 3

补形，往上再加一个正三棱锥，又侧面对角线相等，故恰能构成等腰直角三角形。故垂直。

Answer 4

以三角形ABC的重心O与三角形 A1B1C1的重心O'的连线OO'为转轴顺时针旋转120°后，CA1与BC1重合，且BC1与AB1重合，所以CA1⊥BC1。由BC1⊥AB1和CA1⊥BC1得：CA1⊥AB1 。

参考资料：不思叔