两道初二数学题 在线等 好的追加分 要详细 有过程

Question

1、在四边形ABCD中，点E在AB上，△ADE和△BCE都是等边三角形，P、O、M、N分别为AB、BC、CD、DA的中点，试判断四边形PQMN为怎样的四边形，并说明理由.
2、在平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB=1，BC=根号5..对角线AC，BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC，AD于点E，F。
（1）试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等；
（2）在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗？如果不可能，请说明理由；如果可能，说明理由并求出此时AC绕点O顺时针旋转的度数。

Answer 1

1。是菱形
连接AC,BD
因为，△ADE和△BCE都是等边三角形
所以，AE=DE,BE=CE,∠AED=∠CEB=60º
∴∠AED+∠DEC=∠CED+∠CED即∠AEC=∠DEB
∴△AEC≌△DEB（SAS）
∴AC=DB
∵P、O、M、N分别为AB、BC、CD、DA的中点
∴MQ‖DB‖PN,MN‖AC‖PQ，MQ=½BD,MN=½AC
∴四边形MQPN是菱形
2。
（1）∵四边形ABCD是平行四边形
∴AO=CO,AD‖BC
∴∠AFO=∠CEO
在△AFO和△ECO中，∠AFO=∠CEO，∠FOA=∠EOC,AO=CO
∴△AFO≌△ECO
∴AF=CE
（2）可以是菱形
由（1）知AD=BC,AF=EC∴AD-AF=BC-CE即FB=BE又∵FB‖BC
∴四边形BEDF是平行四边形
∵AB⊥AC∴AC²=BC²-AB²∴AC=2∴AO=½AC=1∴AB=AO∴△ABO是等腰直角三角形
∴∠AOB=45º∵当四边形BEDF为菱形时EF⊥BD
∴∠FOA=45º∴AC绕O顺时针旋转45º即可得到菱形BEDF