第2个回答 2010-12-09
方法一：
由题意可知：数列an单调递增而且有界，根据极限存在定理，可知道，必然会有一个极限h使得lim(n→∞)an=h，対原式两边取极限，有lim(n→∞)a(n+1)=lim(n→∞) (c-1/an ),可得c=
h+1/h，显然h>a1，即h>1，又由题意有a(n+1)<3，因此h≤3，可得c的范围是（2，10/3]
方法二：
首先因为an递增，显然a2>a1，代入递推式可知：c>2，然后设c=k+1/k，bn=1/(an-k),由于c>2，显然对于任意k>0且k≠1均满足，对递推式两边同时减去k，然后整理有：1/(a(n+1)-k)=(kan-k^2+k^2)/(an-k),继续化简有：b（n+1）=k+k^2bn看，又b1=1/1-k，根据不动点或者构造等比数列，可知：
bn=k^2（n-1）（1/1-k^2）+k/1-k^2，从而an=[1-k^2/k^2（n-1）+k]+k，显然对于任意k>0且k≠1，1-k^2/k^2（n-1）+k均递减且趋向于0，因此an也趋向于k，但是，若k<1，从第二项开始均小于1，不满足题意，排除。又an<3，所以k≤3，综合上述k的范围是（1，3]，从而可知可得c的范围是（2，10/3]
一开始审题只是想到第一种方法，第二种方法是做完第一问的时候察觉到的，我觉得为什么要c=5/2的情况下，an必须减2才能构造等比数列？而且第一问的时候顺便把an也算出来了，结果an也是等于一个无穷小+2，也就是说趋向于2，显然不仅c值，还有an的极限都与2有关，于是就把它推广，思路就清晰起来了，当an-k时，c=k+f（k），然后必然有an趋向于k，之后对递推式两边减k，有：a（n+1）-k=f（k）-1/an，因此只要保证右边有q1（an-k）/q2an（q1，q2是未知常量）就能像第一问一样的思路把bn求出来，对比一下就发现，q1/q2=f（k），q1k/q2=1，消去q1/q2，有f（k）=1/k，也就是c=k+1/k的由来了。