请教高中数学问题，求高手解答，要有详细步骤哦~

Question

如题所述

Answer 1

已知函数f(x)=x|x-a|+2x.
(1)当a=4时，求函数f(x)的单调减区间；
(2)求所有的实数a，使得对任意x∈[1,2]时，函数f(x)的图像恒在函数g(x)=2x+1图像的下方。
（1）解析：∵函数f(x)=x|x-a|+2x.
当a=4时，f(x)=x|x-4|+2x
写成分段函数：
f(x)=6x-x^2 (x<4)
f(x)=x^2-2x (x>=4)，
当x＜4时，f(x)=6x-x^2=-(x-3)^2+9
∴f(x)增区间是(-∞，3]，减区间是[3，4]，
当x≥4时，f(x)=x^2-2x=(x-1)^2
∴f(x)的增区间是[4，+∞),
综上：f(x)的单调减区间为[3，4]．

（2）解析：由题意得对任意的实数x∈[1，2]，f(x)＜g(x)恒成立，
即x|x-a|+2x-2x-1＜0==>|x-a|＜1/x==>-1/x<x-a<1/x，
∴x-1/x<a<x+1/x，
故只要x-1/x的最大值小于a，且x+1/x的最小值大于a,在x∈[1，2]上恒成立即可，
令m(x)=x-1/x==>m’(x)=1+1/x^2>0，m(x)为增函数，m(x)max=m(2)=3/2；
令n(x)=x+1/x==>n’(x)=1-1/x^2>0，n(x)为增函数，n(x)min=n(1)=2；
∴3/2＜a＜2．