若二维随机变量(X,Y)服从D上的均匀分布，其中D=（如图），求（X,Y）的概率密度

Question

若二维随机变量(X,Y)服从D上的均匀分布，其中D=（如图），求（X,Y）的概率密度求详细步骤

Answer 1

均匀分布的概率密度是常数，且这个常数等于1/(D的面积)，所以在D内，概率密度f(x,y)=1/π，在D之外，f(x,y)=0。

x+y≤1，即半径为1的圆，那么求y的范围，当然也可以相等的，即-√(1-x²)≤y≤√(1-x²)。

例如：

解：平面区域D是一个平行四边形，顶点du分别为原点(0,0)，(1,0)，(0,1)，(-1,1)。

显然其面积为1×1=1

故二维随机变量（x，y）的联合概率密度函数为

fX,Y(x,y)=

{1,D={-y<x＜1-y,0<y<1}

0,其它区域

则二维随机变量（x，y）的两个边缘分布密度分别为：

fX(x)=∫(-∞，+∞) fX,Y(x,y)dy

当-1≤x<0时，

fX(x)=∫(-∞，+∞) 1dy=∫(-x，1) 1dy=x+1；

当0<x≤1时，

fX(x)=∫(-∞，+∞) 1dy=∫(0，1-x) 1dy=1-x

为分段函数。

fY(y)=∫(-∞，+∞) fX,Y(x,y)dx

=∫(-y，1-y) 1dx=1

定义域0≤y≤1

扩展资料：

在研究随机变量的性质时，确定和计算它取某个数值或落入某个数值区间内的概率是特别重要的。因此，随机变量取某个数值或落入某个数值区间这样的基本事件的集合，应当属于所考虑的事件域。

概率空间(Ω,F,p)上的随机变量x是定义于Ω上的实值可测函数，即对任意ω∈Ω，X(ω)为实数，且对任意实数x，使X(ω)≤x的一切ω组成的Ω的子集{ω:X(ω)≤x}是事件，也即是F中的元素。事件{ω:X(ω)≤x}常简记作{x≤x}，并称函数F(x)=p(x≤x)，-∞<x<∞ ，为x的分布函数。

参考资料来源：百度百科-随机变量

Answer 2

你好！均匀分布的概率密度是常数，且这个常数等于1/(D的面积)，所以在D内，概率密度f(x,y)=1/π，在D之外，f(x,y)=0。经济数学团队帮你解答，请及时采纳。谢谢！本回答被提问者和网友采纳