使得n3+3可被n+3整除的正整数的和

Question

使得n3+3可被n+3整除的正整数的和

Answer 1

先说一下，a^b表示a的b次方。

n^3+3
=n^3+3n^2-3n^2-9n+9n+27-27+3
=n^2(n+3)-3n(n+3)+9(n+3)-24
=(n^2-3n+9)(n+3)-24

因为n^3+3能被n+3整除，设n^3+3=(n+3)A，此处，A是一个整式。

因而，

(n+3)A=(n^2-3n+9)(n+3)-24
24=(n+3)(A-n^2+3n-9)
容易看出，n+3是24的因数
而n是正整数，因而n+3＞3
因而，
n+3=4、6、8、12、24
n=1、3、5、9、21
因而这样的n之和=1+3+5+9+21=39
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