基本不等式这是我们一般说的基本不等式：对非负实数 ，有等号成立当且仅当 .事实上，这个不等式来自于即再令其中 是非负实数.等号成立条件也即 ，即 .基本不等式链从上面的不等式，我们可以得到其他的不等式，如：对正实数 ，有其中，我们已经证明了 .接下来完成剩下的证明：证明：我们先证明：.要证 只需证 即证 即证 即证 显然成立，且等号成立当且仅当 .再证明：要证 只需证 由 知道 成立且 等号成立当且仅当 ，即 .注： 称作 的调和平均值 称作 的几何平均值 称作 的算术平均值 称作 的平方平均值上面的不等式链可简记为“调几算方”.基本不等式的应用一般地，基本不等式用于处理最值的求解及其相关的证明。这里我们按照所给条件的类型来讨论。和式条件这里指和为定值的条件，例如正实数 满足 或 或 .事实上，这三个条件可以说是完全一致，因为：对 做换元 就得到 .例1. 已知正实数 满足 ，则 的最小值为________.解析： 方法一：由基本不等式链得故等号成立当且仅当 .故答案为4.方法二(化齐次)： 将 乘以 ，即等号成立当且仅当 ，即 .这时候其实有一些问题：如果不能直接用基本不等式链或者 怎么办？这个例题我们解决这两个问题：例2. 已知正实数 满足 ，则 的最小值为________.解析：这里就不能直接用不等式链了，考虑化齐次，为此，将 右边改写为 ， 即 于是等号成立当且仅当 即 .另外，化齐次不只可以通过乘法，还可以通过直接代换 . 比如下面这个例子：例3. 已知正实数 满足 ，则 的最小值为________.直接乘 在这里不是很行了，因为这时候需要处理的是 ，而这个式子不齐次，并不好直接处理.那为什么会产生这个不齐次的部分？容易想到，是因为 中的 导致产生了一些问题，再准确点，就是 导致的.因为 是齐次的，不需要再进行齐次化的处理.所以，我们这次避开这个部分，只对剩下的部分化齐次.等号成立当且仅当 ，即 .积式条件这里指积为定值的条件，例如正实数 满足 或 ，其中 .例4. 已知正实数 满足 ，则 的最小值________.解析：等号成立当且仅当 .例5. 已知正实数 满足 ，则 的最小值________.解析：这个题目第一次见的话看起来会比较怪异，当然，我们可以把 用 表达，即于是等号成立当且仅当 ，即 故答案为 .另解：实际上，求 最小值，一般是 为定值的情况，但这里显然 不是定值， 其实这里是 为定值.这时候就体现了熟悉因式分解的优势. ，
