没有直接关系，如果要说就同事居住在月亮上的邻居。嫦娥奔月的神话传说起源很早，而吴刚月宫伐桂的故事则大约起源于唐代，到唐末才颇为流行，并首次出现在了唐人的诗歌和笔记中。所以二人并非同一时期人物。
嫦娥，上古时期三皇五帝之一帝喾（天帝帝俊）的女儿、后羿（大羿）之妻，其美貌非凡，本称姮娥 ，因西汉时为避汉文帝刘恒的忌讳而改称嫦娥，又作常娥。
据说嫦娥与后羿开创了一夫一妻制的先河，后人为了纪念他们，演绎出了嫦娥奔月的故事，民间多有其传说以及诗词歌赋流传。 在神话传说中，嫦娥因偷食大羿自西王母处所求得的不死药而奔月成仙，居住在月亮上面的广寒宫之中。
在东汉之前，无任何资料显示嫦娥与羿是夫妻关系，直到高诱注解《淮南子》才指出嫦娥是后羿之妻。
吴刚，是中国古代神话中居住在月亮上的仙人，他被天帝惩罚在月宫伐桂树。仰望一轮明月，可见月亮中有些阴影，传说那是吴刚在伐桂。故事的大意是这样的：
传说月亮里有一棵高五百丈的桂树。汉朝时有个叫吴刚的人，学仙过程中有过错，因此天帝龙颜大怒，把他拘留在月宫，令他在月宫伐桂树，并说：“如果你砍倒桂树，就可获仙术。”但吴刚每砍一斧，斧起而树创伤就马上愈合。
日复一日，吴刚伐桂的愿望仍未达成。因此吴刚在月宫常年伐桂，始终砍不倒这棵树。因而后世的人得以见到吴刚在月中无休无止砍伐桂树的形象。见《唐·段成式·酉阳杂俎·卷一·天咫》。
扩展资料：
月球上不适于生物存活，在人们的传说中也人烟稀少。唐代以前的故事里，月亮上面主要是有嫦娥、蟾蜍、玉兔，此外还有桂树。月中有桂树的说法汉代以前就有，不过在记载中桂树跟嫦娥、蟾蜍、玉兔都没有发生情节上的联系。
吴刚的事首见于唐代段成式《酉阳杂俎·天咫》，他学习仙术时犯了过错，被贬罚来砍桂树。这就是“吴刚伐桂”的故事。在这个故事里，桂树还是个神树，总也砍不倒；吴刚则是修道学仙有了过失才罚到月球上。。
月宫里出现了吴刚之后，民众对嫦娥冷清生活的同情心得到了一定补偿。虽然关于他们二人并没有编出家庭生活式的故事，但给人们的感觉是嫦娥有人做伴了。同时，人们在说起月亮的故事时，还主要是说嫦娥，多数情况下并不提吴刚，好像把吴刚忘掉了，吴刚也没成为月神。
这是由于在我们的传统文化中，月亮是属阴、母性的，是和属阳的太阳相对的。月神应该是女神，月亮以嫦娥来代表最合适。同时也由于嫦娥的故事与吴刚的故事出现于不同的时代，各成体系，分头流传，二者没有发生交叉和融合，就是说，这两人并没有被编到一个故事里去，也就没有发生爱情关系的机会。
参考资料来源：百度百科——嫦娥
参考资料来源：百度百科——吴刚