施密特正交化详细计算过程是什么？

Question

如题所述

Answer 1

施密特正交化详细计算过程是[α1,β2]=a1b1+a2b2+a3b3+a4b4，也就是两个向量的内积（点乘），代入相应的向量即可求出，例如求β2的时候，把β1和α2代入上式，运算即可算出。

由于把一个正交向量组中每个向量经过单位化，就得到一个标准正交向量组，所以，上述问题的关键是如何由一个线性无关向量组来构造出一个正交向量组，我们以3个向量组成的线性无关组为例来说明这个方法。

正交：

在三维向量空间中，两个向量的内积如果是零， 那么就说这两个向量是正交的。正交最早出现于三维空间中的向量分析。换句话说，两个向量正交意味着它们是相互垂直的。若向量α与β正交，则记为α⊥β。

对于一般的希尔伯特空间，也有内积的概念，所以人们也可以按照上面的方式定义正交的概念。特别的，我们有n维欧氏空间中的正交概念，这是最直接的推广。

和正交有关的数学概念非常多，比如正交矩阵，正交补空间，施密特正交化法，最小二乘法等等。另外在此补充正交函数系的定义：在三角函数系中任何不同的两个函数的乘积在区间[-π,π]上的积分等于0，则称这样的三角函数组成的体系叫正交函数系。

Answer 2

[α1,β2]=a1b1+a2b2+a3b3+a4b4，也就是两个向量的内积（点乘），代入相应的向量即可求出，例如求β2的时候，把β1和α2代入上式，运算即可算出。

施密特正交化是求欧氏空间正交基的一种方法。从欧氏空间任意线性无关的向量组α1，α2等等，αm出发，求得正交向量组β1，β2，βm，使由α1，α2，αm与向量组β1，β2，βm等价，再将正交向量组中每个向量经过单位化，就得到一个标准正交向量组，这种方法称为施密特正交化。

用数学归纳法证明：

上述所说明的利用线性无关向量组，构造出一个标准正交向量组的方法，就是施密特正交化方法。正交向量组是一组非零的两两正交（即内积为0)的向量构成的向量组。几何向量的概念在线性代数中经由抽象化，得到更一般的向量概念。

此处向量定义为向量空间的元素，要注意这些抽象意义上的向量不一定以数对表示，大小和方向的概念亦不一定适用。在三维向量空间中，两个向量的内积如果是零，那么就说这两个向量是正交的。正交最早出现于三维空间中的向量分析。换句话说，两个向量正交意味着它们是相互垂直的。若向量α与β正交，则记为α⊥β。

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Answer 3

施密特正交化是一种将一组线性无关的向量正交化的方法。详细计算过程如下：1. 设有一组向量组成的集合 {v1，v2，...，vn}。2. 取第向量 v1 正交化的基础。3. 对剩余向量进行正交化，即计算它们在 v1 上的投影并从原向量中减去该投影。4. 重复上述步骤，以第 i 个向量正交化的基础，并用它对剩余向量进行正交化。 a. 计算第 i 个向量在前 i - 1 个向量的线性组合下的投影，并从原向量中减去该投影。 b. 对第 i 个向量进行标准化，得到正交向量 vi 。5. 对于所有向量得到的正交向量集合 {v1，v2，...，vn}，计算它们的长度并归一化。6. 最终得到一组正交化的向量 {u1，u2，...，un}。施密特正交化的计算过程中主要涉及向量的加减、点积、取模等基本运算。需要注意的是，当原向量集合中存在线性相关的向量时，施密特正交化无法得到一组正交的向量。此时需要先进行向量组的基变换或者使用其他的正交化方法。

Answer 4

施密特正交化是一种将线性无关的向量组转化为标准正交向量组的方法。其详细计算过程如下：设 $a_1, a_2, ..., a_n$ 是 $n$ 个线性无关的向量组，需要将它们转化为标准正交向量组 $q_1, q_2, ..., q_n$，其中 $q_1$ 是与 $a_1$ 方向相同的单位向量。1. 先对第向量 $a_1$ 进行单位化，得到单位向量 $q_1 = \\frac{a_1}{\\left\\|a_1\\right\\|}$。2. 对于 $i = 2, 3, ..., n$，定义 $u_i = a_i - \\sum_{j=1}^{i-1}\\left\\langle a_i,q_j\\right\\rangle q_j$，其中 $\\left\\langle a_i,q_j\\right\\rangle$ 表示向量 $a_i$ 在向量 $q_j$ 上的投影。这一步的目的是让 $u_i$ 不再与前面已经处理过的向量正交。3. 然后对 $u_i$ 进行单位化，得到单位向量 $q_i = \\frac{u_i}{\\left\\|u_i\\right\\|}$。这一步是将 $u_i$ 转化为与前面已经处理过的向量正交的单位向量。4. 重复步骤 2 和 3 直到处理完所有的向量。最终得到的标准正交向量组 $q_1, q_2, ..., q_n$ 满足 $\\left\\langle q_i,q_j\\right\\rangle = \\begin{cases}1 \u0026 i=j \\\\ 0 \u0026 i\eq j\\end{cases}$，即它们两两正交，且长度都为 1。