第1个回答 2010-12-03
f(x)在[a,b]上连续 (定理条件1)
由介值定理知 f(x)在[a,b]上有界
即m <= f(x) <= M (1)
∫[a,b]g(x)dx 在区间[a,b]上不变号 (定理条件2)
令∫[a,b]g(x)dx > 0 (2)
由(1)(2),有式(3)
m∫[a,b]g(x)dx <= ∫[a,b]f(x)g(x)dx <= M∫[a,b]g(x)dx (3)
由∫[a,b]g(x)dx > 0 ,式(3)可化为
m<= ∫[a,b]f(x)g(x)dx / ∫[a,b]g(x)dx <= M (4)
又由f(x)在[a,b]上连续 (定理条件1)
由介值定理知,
区间[a,b]上至少有一点p, 使得对任何P (m <= P <= M), 都有f(p) = P
令∫[a,b]f(x)g(x)dx / ∫[a,b]g(x)dx = P
则可知[a,b]上至少有一点p, 使得f(p) = ∫[a,b]f(x)g(x)dx /
等式两侧同乘∫[a,b]g(x)dx, 即得证.
纯手打~求分~