三阶实对称矩阵a的特征值为1,1,-1对应-1的特征向量已知求1对应的特征向量

为什么用正交法得到的一个方程能直接写出两个特征向量。怎么证明这两个一定是其特征向量呢？

推荐答案 2015-01-11

下面的结论很有用：
实对称矩阵属于不同特征值的特征向量互相垂直；
实对称矩阵有实数特征根；
据此，三阶的特征根有两个重根的话（重根对应的任意两个特征向量的线性组合还是其特征向量），与单根对应的特征向量垂直的（平面上）任何一个向量都是属于重根的特征向量，所以重根对应特征向量很容易找到。
供参考。

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第1个回答 2015-01-11

用数学归纳法

只有一个特征值时，因特征向量非0，所以无关。

设k-1个不同的特征值对应的特征向量无关

则k个时，作线性组合为0向量，此式记为1

两边左乘A即和特征值联系，此式记为2

1式两边乘第k个特征值，此式记为3

3-2即消去第k个特征向量，由归纳假设，k-1个特征向量无关，即得1式中的组合系数都为0

得证。

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