求∫1/(2+sinx)dx的不定积分

Question

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Answer 1

∫1/(2+sinx)dx=2√3/3*arctan{[2√3tan(x/2)+√3]/3}+C。C为常数。

2+sinx=2sin(x/2)^2+2cos(x/2)^2+2sin(x/2)cos(x/2)

dx/(2+sinx)=sec(x/2)^2dx/[2+2tan(x/2)^2+2tan(x/2)]

=d(tan(x/2))/[1+tan(x/2)+tan(x/2)^2]

令u=tan(x/2)

原积分=∫du/(1+u+u^2)

=∫d(u+1/2)/[3/4+(u+1/2)^2]（用∫dx/(a^2+x^2)公式，取a=√3/2）

=1/a*arctan[(u+1/2)/a]+C

=2√3/3*arctan{[2√3tan(x/2)+√3]/3}+C

扩展资料

不定积分的公式

1、∫ a dx = ax + C，a和C都是常数

2、∫ x^a dx = [x^(a + 1)]/(a + 1) + C，其中a为常数且 a ≠ -1

3、∫ 1/x dx = ln|x| + C

4、∫ a^x dx = (1/lna)a^x + C，其中a > 0 且 a ≠ 1

5、∫ e^x dx = e^x + C

6、∫ cosx dx = sinx + C

7、∫ sinx dx = - cosx + C

8、∫ cotx dx = ln|sinx| + C = - ln|cscx| + C

9、∫ tanx dx = - ln|cosx| + C = ln|secx| + C

10、∫ secx dx =ln|cot(x/2)| + C = (1/2)ln|(1 + sinx)/(1 - sinx)| + C = - ln|secx - tanx| + C = ln|secx + tanx| + C

Answer 2

∫1/(2+sinx)dx=2√3/3*arctan{[2√3tan(x/2)+√3]/3}+C。C为常数。

2+sinx=2sin(x/2)^2+2cos(x/2)^2+2sin(x/2)cos(x/2)

dx/(2+sinx)=sec(x/2)^2dx/[2+2tan(x/2)^2+2tan(x/2)]

=d(tan(x/2))/[1+tan(x/2)+tan(x/2)^2]

令u=tan(x/2)

原积分=∫du/(1+u+u^2)

=∫d(u+1/2)/[3/4+(u+1/2)^2]（用∫dx/(a^2+x^2)公式，取a=√3/2）

=1/a*arctan[(u+1/2)/a]+C

=2√3/3*arctan{[2√3tan(x/2)+√3]/3}+C

扩展资料：

求不定积分的方法：

第一类换元其实就是一种拼凑，利用f'(x)dx=df(x)；而前面的剩下的正好是关于f（x）的函数，再把f（x）看为一个整体，求出最终的结果。（用换元法说，就是把f（x）换为t，再换回来）。

分部积分，就那固定的几种类型，无非就是三角函数乘上x，或者指数函数、对数函数乘上一个x这类的，记忆方法是把其中一部分利用上面提到的f‘（x）dx=df（x）变形，再用∫xdf(x)=f(x)x-∫f（x）dx这样的公式，当然x可以换成其他g（x）。

常用积分公式：

1）∫0dx=c 

2）∫x^udx=(x^(u+1))/(u+1)+c

3）∫1/xdx=ln|x|+c

4）∫a^xdx=(a^x)/lna+c

5）∫e^xdx=e^x+c

6）∫sinxdx=-cosx+c

7）∫cosxdx=sinx+c

8）∫1/(cosx)^2dx=tanx+c

9）∫1/(sinx)^2dx=-cotx+c

10）∫1/√（1-x^2) dx=arcsinx+c

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Answer 3

令t=tan(x/2),则x=2arctant,所以dx=2/(1+t^2)dt
由万能公式:sinx=2tan(x/2)/(1+(tan(x/2))^2)=2t/(1+t^2),
则原式=(1/2)∫d(t+1/2)/[(t+1/2)^2+(根号3/2)^2]
=(1/根号3)arctan[2(t+1/2)/根号3]+C
=(1/根号3)arctan[2(arctan(x/2)+1/2)/根号3]+C本回答被提问者和网友采纳

Answer 4

令u=tanx/2 则x=2arctanu dx=2/(1+u平方)du sinx=2u/(1+u平方) 代入原式 分母配方 利用积分基本公式就可以求。 最后将u代换成x的形式就Ok了。公式:|1/(a平方+x平方)dx=1/a *arctan x/a+C |是求不定积分符号,手机打不了。