第1个回答 2022-07-21
平面上两点间的距离公式是解析几何的基本公式。它为后续点到直线距离公式、圆、椭圆、双曲线、抛物线方程的建立，直线与圆锥曲线的综合等问题做好铺垫。
一、公式推导
《普通高中教科书数学选择性必修第一册》第二章第三节，关于两点间距离公式的推导与传统教材有所差异。
新版教材侧重用向量法推导两点间距离公式，应用本书中学生学习过的向量知识解决实际问题，此种方法浅显易懂。这体现了知识的前后联系，融会贯通。
新版教材在“思考”中，渗透构造直角三角形，应用勾股定理，推到两点间距离公式，这与旧版教材研究思路是一致的。
用勾股定理推导两点间距离公式，需要分情况进行讨论：
1.如果两点均在x轴上（两点所在直线平行于X轴），那么两点间距离等于两点横坐标差的绝对值。
同理，如果两点均在y轴上时（两点所在直线平行于y轴），那么两点间距离等于两点纵坐标差的绝对值。
2.两点所在直线与坐标轴都不平行
过两点分别作与坐标轴平行的直线，构造直角三角形，分别求出直角三角形两条直角边边长，应用勾股定理，即可求出斜边的长度，即两点间距离。
通过分析，第一种情况与第二种情况计算公式一致，从而推出平面上两点间距离公式。
通过实际推导过程，比较分析，向量法比用勾股定理推导方法简洁。
二、公式应用
1.直接应用公式解决问题
根据学生的学情，首先给出两个已知点的坐标，让学生利用两点间距离公式，直接求出两点间距离公式。
然后应用教材73页例3，给出两个已知点A、B的坐标，，在x轴上求一点P，使得P到两已知点距离相等，求出点P坐标和线段PA长度。
这道例题涉及解方程，对于基础比较薄弱的学生，望而生畏。
应用距离公式求解时，往往需要解二次方程，二次方程根的个数，对应点的个数。这考察学生数学运算能力。
2.深度探究——用坐标法研究平面几何问题
以教材73页例4为载体，让学生经历、感受、体验用坐标法解决平面几何问题的基本步骤。
题目：用坐标法证明“平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边的平方和的两倍”。（被称为“平行四边形的勾股定理”或“广义勾股定理”）
研究步骤：
首先建立适当的直角坐标系，用坐标表示问题中涉及的几何元素，将平面问题转化为坐标问题。“适当的坐标系”，对于问题的顺利解决，具有举足轻重的地位。
以AB边所在直线为x轴，过A且垂直于AB的直线为y轴，这样建立了平面直角坐标系。点A、B、D三点坐标容易写出来，C点坐标的获取是证明本题的关键，同时也是个难点，需要结合平行四边形的性质。
法1：通过几何法，作垂线，找相似，写出点C的坐标；法2：利用中点坐标公式写出点C的坐标，BD的中点也是AC的中点即可求得；法3：利用向量相等，向量AB等于向量DC（手机输入，打不出来向量符号），即可写出点C的坐标（立体几何中写点坐标一是看，一是算）。
然后，根据题目条件，分别求出相应线段的长度。通过坐标运算，研究几何元素之间的关系。
最后，把代数运算结果“翻译”成几何结论。
上述用坐标法解决平面几何问题，体现了用代数方法研究几何问题的一般思路。这为后续研究圆锥曲线问题做好思想方法储备。
三、课堂巩固
根据本节课所学习的内容，带领同学们做教材74页练习中的三道小题。这三道小题，与课堂的教学思路完全一致，起到了对所学内容的复习与巩固的效果。
四、课后小结
让同学们分享本节课的收获与体会：知识方面、数学核心素养、德育等方面。
五、教学反思
1.有必要让学生经历、参与、体验推导两点间距离公式的过程，这本身也是一个学习的过程，锻炼学生提出问题，分析问题，解决问题的能力。
2.在学生容易出现问题的地方，教师进行有必要的启发引导，帮助学生渡过难关。
3.多种方法求点C的坐标，对于学生思维广度和深度的发展，大有裨益。
4.用坐标法研究平面解析几何问题，通过一系列的操作，最终总结出一般的研究思路。易于学生将零散的操作过程，凝炼成系统的思维过程。