怎么求过渡矩阵

Question

如题所述

Answer 1

过渡矩阵有两套求解方法，分别是基变换公式和坐标变换公式。如果过渡矩阵设为A，那么在基变换的情况下，从基αi到基βi的矩阵即为过渡矩阵（i=1,2,3,4），可以表示为βi=αiA。这里的αi写在前面，实际上是让βi被αi线性表出。需要注意的是，线性表出的是4个行向量，这4个行向量写在一起形成一个矩阵，但这个矩阵的转置才是A，因为表达式是βi=αiA，而不是βi=Aαi。因此，记得在对应行列标的位置上要写反。

举个例子，假设我们有一个向量v，它在基α下的坐标为[x1, x2, x3, x4]T，在基β下的坐标为[y1, y2, y3, y4]T。通过基变换公式，我们可以找到过渡矩阵A，使得βi=αiA。具体来说，如果基α中的向量为α1, α2, α3, α4，而基β中的向量为β1, β2, β3, β4，那么我们可以通过计算得到矩阵A，使得β1, β2, β3, β4可以由α1, α2, α3, α4线性表出。

在实际操作中，我们可以通过矩阵乘法来实现这个转换。具体来说，如果β1, β2, β3, β4分别可以由α1, α2, α3, α4线性表出，那么我们可以通过构建一个4x4的矩阵A，使得每个βi的坐标向量都可以通过αi与A的乘积得到。例如，假设β1可以表示为a11α1+a12α2+a13α3+a14α4，那么矩阵A的第一行就是[a11, a12, a13, a14]。同样的，其他行依次类推，直到构建完整个A矩阵。

通过这种方式，我们可以有效地将一个向量在不同基下的坐标进行转换。需要注意的是，这里的转换是双向的，即从一个基转换到另一个基。因此，在实际应用中，我们需要根据具体情况选择合适的基变换公式来求解过渡矩阵A。