质数的基本概念

Question

如题所述

Answer 1

质数的基本概念

质数又称素数，指在大于1的自然数中，除了1和该数自身外，无法被其他自然数整除的数（也可定义为只有1与该数本身两个正因数的数）。

拓展资料——质数历史

在古埃及人的幸存纪录中，有迹象显示他们对素数已有部分认识：例如，在莱因德数学纸草书中的古埃及分数展开时，对素数与对合数有着完全不同的类型。不过，对素数有过具体研究的最早幸存纪录来自古希腊。

公元前300年左右的《几何原本》包含与素数有关的重要定理，如有无限多个素数，以及算术基本定理。欧几里得亦展示如何从梅森素数建构出完全数。埃拉托斯特尼提出的埃拉托斯特尼筛法是用来计算素数的一个简单方法，虽今天使用电脑发现的大素数无法使用这个方法找出。

希腊之后到17世纪之前，素数的研究少有进展。1640年皮埃尔·德·费马叙述了费马小定理，之后才被莱布尼茨与欧拉证明。费马亦推测，所有具22n+1形式的数均为素数，称之为费马数，并验证至n=4（即216+1）。

后来由欧拉发现，下一个费马数232+1即为合数，且实际上其他已知的费马数都不是素数。法国修道士马兰·梅森发现有的素数具2p−1的形式，其中p为素数。为纪念他的贡献，此类素数后来被称为梅森素数。

欧拉在数论中的成果，许多与素数有关。他证明无穷级数1/2+1/3+1/5+1/7+1/11+…会发散。1747年，欧拉证明每个完全数都确实为2p−1(2p−1)的形式，其中第二个约数为梅森素数。

19世纪初，勒让德与高斯独立推测，当x趋向无限大时，小于x的素数数量会趋近于x/ln(x)，其中ln(x)为x的自然对数。黎曼于1859年有关ζ函数的论文中勾勒出一个程式，导出了素数定理的证明。其大纲由雅克·阿达马与查尔斯·贞·德·拉·瓦莱-普森所完成，他们于1896年独立证明出素数定理。