线性拟合2-正交回归

Question

如题所述

Answer 1

正交回归在处理线性拟合问题时，解决了最小二乘法仅考虑因变量误差的局限性。当原始点的横纵坐标都存在误差时，使用正交回归方法能够得到更准确的结果。

正交回归方法能够同时考虑自变量和因变量的误差。它通过最小化横纵坐标残差的平方和，求解最优直线。直观上，正交回归找到的直线，是使得所有点到直线距离之和最小的直线。

正交回归的目标函数定义了横纵坐标误差的综合考虑。通过定义残差和误差，最小化目标函数能求得最优解。目标函数的最小值对应着点到直线距离之和最小的情况，即正交投影点。

在正交回归中，我们定义了横坐标真实值和估计值之间的误差和残差，通过目标函数综合考虑这些误差。目标函数的最小化过程，即找到与点最接近的直线。

使用点法式直线方程进行拟合，这种形式能表示二维平面上的所有点。目标函数的形式结合了横纵坐标误差，优化过程转化为找到点到直线距离最短的直线。

通过定义直线方程形式，使用点法式直线表达式，优化目标函数变为最小化点到直线距离的平方和。优化过程涉及对目标函数求导，利用最小化条件求解参数。

最小化目标函数的过程，涉及求解斜率和截距的最优值。通过最小化二次型目标函数，可以推导出最优直线方程。最终结果是拟合直线的法向量，即矩阵的最小特征值对应的特征向量。

最终得到的直线方程为 [公式]，其中 [公式] 是直线上的一个点，向量 [公式] 为直线的法向量。法向量的计算涉及到矩阵特征值和特征向量的概念。

正交回归的几何意义在于，它找到的直线使得每个点到直线的垂直距离之和最小。直观上理解，就是优化垂直距离，从而得到最佳拟合直线。

综上所述，正交回归在处理线性拟合问题时，通过考虑自变量和因变量的误差，优化目标函数，得到最优解。其结果不仅适用于最小二乘法的缺点，还能提供更准确的拟合直线，优化过程蕴含矩阵特征值与特征向量的概念，几何意义在于最小化垂直距离。