高等代数题目：已知A为mXn矩阵，m<n,且A的秩为m,求证A的转置矩阵与A的乘积是正定矩阵。这道题目怎么解？

已知A为mXn矩阵，m<n,且A的秩为m,求证A的转置矩阵与A的乘积是正定矩阵。这道题目怎么解？（应用二次型的知识解答）

推荐答案 2010-12-14

记A的行向量为ai，i=1，2，……，m
则A*A^T的所有顺序阶子式均有G(a1,a2,……,ak)的形式
其中，1≤k≤m，G(a1,a2,……,ak)为a1,a2,……,ak在标准内积意义下的Gram矩阵
例如： (a1,a1) (a1,a2)
G(a1,a2)=(a2,a1) (a2,a2)
其中，(x,y)，表示x和y的标准内积
又知G(a1,a2,……,ak)＞0(因为A满秩，所以严格大于0)，故A*A^T的所有顺序阶子式大于0
故A*A^T为正定矩阵。

是用二次型知识解答的。

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第1个回答 2010-12-14

A为行满秩矩阵，所以存在可逆矩阵P使得PA=(E(m),0)，所以两边取转置可得A'P'=(E(m),0)'，使得PAA'P'=E(m),所以AA'合同于单位矩阵，所以是正定矩阵。

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