用幂级数解法求解方程：x''+tx'+x=0,x(0)=0,x'(0)=1;求高手解密啊！！！

Question

如题所述

Answer 1

由x(0)=0, x'(0)=1, 设x=t+a2t²+...+ant^n+....
则x'=1+2a2t+3a3t²+4a4t³...+nant^(n-1)+....
x"=2a2+6a3t+12a4t²+......+n(n-1)ant^(n-2)+..
代入原方程得：
2a2+6a3t+12a4t²+......+n(n-1)ant^(n-2)+.... (n+2)(n+1)a(n+2)t^n+...
+t+2a2t²+......................... .... +nant^n+....
+t+a2t²+.. .+ant^n+.......=0
合并：
(2a2)+(6a3+2)t+ (12a4+3a2)t²+.........+[(n+2)(n+1)a(n+2)+(n+1)an]t^n+......=0
各项系数都为0，得：
2a2=0, 得a2=0
6a3+2=0, 得a3=-1/3
12a4+3a2=0, 得a4=-a2/4=0
20a5+4a3=0, 得a5=-a3/5=1/15
......
(n+2)(n+1)a(n+2)+(n+1)an=0, 得: a(n+2)=-an/(n+2)
.....
因此当n=2k时,有an=0
当n=2k+1时,an=(-1)^k/[1*3*5*...*n]=(-1)^k/n!!, 这里n!!表示1*3*5..*n.
所以x=t-t³/3+t^5/15-t^7/105+...... +(-1)^k t^(2k+1)/(2k+1)!!+......