初三数学急用

Question

已知函数y=x²-（m²+4）x-2m²-12
（1）证明不论m取何实数，它的图像与x轴总有两个交点，且其中一个交点是（-2,0）
（2）m取何值时，它的图像在x轴上截得的线段的长度是12.

Answer 1

先分析一下抛物线y=ax²+bx+c 与 x轴的交点情况。

因为 交点在 x轴 上，
所以 交点的纵坐标 为 O。即此时 y=0
则有 ax² + bx+c = 0 这就转化为判别一元二次方程根的情况

故 一元二次方程根的个数 即为 抛物线与x轴交点的个数。

证明： （1）一元二次方程 x² --（m²+4）x --2m²--12=0的根的判别式为
△ = b² - 4ac
= [ -- (m²+4) ]² -- 4 × 1 × （ --2m²--12 ）
= （ m²+8 ）² 它显然大于零。
故 不论m何值，抛物线与x轴总有两个交点。

如何证明其中一个交点是（-2,0）呢？
就是让证明方程有一根为--2 。 （ 注意：是让证明，不能把x= --2代入方程！）
事实上，对原方程左边因式分解得 （ x+2 ）（ x--m²--6 ）= 0
x1 = --2 x2 = m²+6
故 抛物线与x轴有一个交点为 （ --2,0 ）。

（2） 由（1 ）问 可知另一个交点为 （ m²+6, 0）
因 m²+6＞0 ， 故该点在 （ --2,0 ）右侧，而不会在（--2,0）左侧。
由抛物线在x轴上截得线段长为12得：
（ m²+6 ） -- （ --2 ）= 12
m² = 4
所以 m=2 或 m=--2
故 当 m=2 或m=--2 时，抛物线在x轴上截得的线段长为12 。（不存在其他情形！）

补充：第二问 您也可这样考虑：
一个交点为 （--2,0） 且图像在x轴上截得线段长为12
故 另一交点坐标应为 （ --14, 0 ）或（ 10, 0 ）
但本题含参数m，最后还需检验，麻烦且易遗漏。
本题实际上不会有（ --14，0 ）那个交点。
至于检验，观察方程：x² --（m²+4）x --2m²--12=0 由根与系数关系知两根之和为 m²+4，它显然大于零，而 --2 + --14 小于零，故不能有--14 那个根。所以
不会有（ --14， 0 ）那个交点。

Answer 2

y=x2-（m2+4）x-2m2-12
代入x=-2
y=0
所以一个交点是（-2,0）
判别式=（m2+4）^2-4(-2m2-12)=m^4+16m^2+64>0
所以与x轴总有两个交点

根据第一问
一个交点是（-2,0）
而且图像在x轴上截得的线段的长度是12.
所以另一个交点是（10,0）或(-14,0)

1.
另一个交点是（10,0）
代入y=x2-（m2+4）x-2m2-12
解得m=2或-2
2.
另一个交点是（-14,0）
代入y=x2-（m2+4）x-2m2-12
解得m=2根号2或-2根号2