所有关于min、max这种题都有一个固定的下手点,就是
U≤u→X[1]、X[2]…X[n]里面最大的都小于等于u→每个X[1]、X[2]…X[n]都小于等于u
每个都小就可以通过独立事件的概率乘法公式计算概率,所以U≤u的概率可以算出来,这就是U的分布函数,再对u求导就是分布密度,再乘以u求期望就算完了。
先看U的。F(u)(分布函数)=P(U≤u)=P(X[1]≤u)×P(X[2]≤u)×…×P(X[n]≤u)只看u在0~1之间的
每个X[i]≤u的概率都是取0~u的取值概率,就是区间长度u除以总区间长1(因为是均匀分布),等于u,所以F(u)=u^n(u的n次方),求导得到f(u)(密度)=nu^(n-1)(注意u都是(0,1)上面的,其余地方概率都是0)
期望就把u乘上积分<u>=∫(0到1)n u^n du=n/(n+1),U的就算完了。
再看V的。V是个最小的,还是仿照上面的思路算分布函数F(v)=P(V≤v)=1-P(V>v)(就这里绕个弯,最小的数要转变为大于号),然后V>v就说明X[i]里面最小的数大于v,也就是X[i]里面每个都大于v,每个大于v的概率也是v~1区间长度除以总的,等于(1-v)所以P(V>v)=(1-v)^n,F(v)=1-(1-v)^n求导得到f(v)=n(1-v)^(n-1)再乘以v求期望<v>=∫(0到1)nv(1-v)^(n-1) dv可以算出,稍微有点麻烦,用分部积分把n(1-v)^(n-1)放到积分符号里面去,变为
<v>=v(1-v)^(n-1)|1,0 -∫(0到1)(1-v)^n dv=1/(n+1)这都是积分计算,楼主自己验算一下就可以。
总结一下,这类题目总之有一个核心思路,就是最小的大于某个数等价于所有的都大于这个数;最大的小于某个数等价于所有的都小于这个数。就想办法求分布函数,把事件往上面说的两方面凑,然后用概率乘法公式就能得到分布函数,最后求出密度函数。
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