立体解析几何中,已知直线上两点,求直线方程很方便;已知球心和半径,求球面方程也很方便。由此我们可以获得直线L的方程如下①式,和以P2为球心、d为半径的球面方程如下②式:
直线与球面的交点即为P3点,因为直线经过球心(不与球面相切或相离),所以肯定存在两个这样的P3点。我们联立上述方程求解即可。
将①式变换可以很容易得到下面的③式和④式:
将③④两式代入②中,并进行通分,可以得到方程并解出x的两个根:
我们再把x的根分别代入③④两式,可以分别解得y、z的各两个根:
所以,我们得到P3点的两个坐标值为:
可以使用向量运算和参数方程来解决。
设向量p1p2 = (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1) 为直线L的方向向量。由于点P3在直线L上,可以表示为点P1与方向向量的线性组合,其中t为参数:
P3 = P1 + t * p1p2
我们需要找到合适的参数t来满足点P3与点P2的距离为d。点P3到点P2的距离可以使用向量运算求解,即计算两点之间的距离公式:
d = ||P3 - P2||
将P3的表达式代入上述公式,并根据距离等于d的条件解方程,即可求解出参数t。
具体步骤如下:
计算向量p1p2 = (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1)。
根据给定的点P1和方向向量p1p2,写出P3的参数方程。
P3 = (x1, y1, z1) + t * (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1)
将P3的表达式代入距离公式 d = ||P3 - P2||,并求解出参数t。
d = ||(x1, y1, z1) + t * (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1) - (x2, y2, z2)||
根据求解得到的参数t,代入P3的参数方程,即可得到P3的点坐标。
请注意,根据具体的坐标值和参数d的选择,可能会有不同的解或无解情况。此外,上述步骤仅适用于直线L上的点P3,如果P3不在直线L上,则无法满足条件。