怎么证明出的在二次不等式中“大取中间,小取两边” 顺便在解决下一题有悬赏哦

已知不等式ax平方+bx+c>0的解集m<x<n,(m>0),求cx平方+bx+a<0的解集

1、所谓的“小取中间,大取两边”,指的是对于二次项系数为正的二次不等式,若这个不等式是小于号的,则解集在两根之间,若是大于号的,则在两根之外。
如:
x²-3x+2>0 x²-3x+2<0
二次项系数为正,且是大于号, 二次项系数为正,且是小于号,则解集在两根
则其解集是相应方程的两根【1和2】 之间,即解集是{x|1<x<2}
之外,即:{x|x>2或x<1}

2、ax²+bx+c>0的解集是m<x<n =====>>>>> a肯定小于0
且方程ax²+bx+c=0的两根是m、n,则:
-(b/a)=m+n,c/a=mn -----------------------------------------(*)
则:cx²+bx+a<0 =======>>>>> 两边除于a【注意a<0】
(c/a)x²+(b/a)x+1>0 ======>>>>>> 用(*)代入,得:
mnx²-(m+n)x+1>0
(mx-1)(nx-1)<0 =======>>>> 解集是两根【1/n、1/m】之间
得解集是{x|1/n<x<1/m}
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第1个回答  2011-07-26
这句话是有条件的,一定要在二次项系数小于0的情况下,否则就是反的了
举例:-x²-5x-6>0,可以分解因式,得到:-(x+2)(x+3)>0
这时由“大取中间”(此时二次项系数-1<0),解为-3<x<-2
如果是x²+5x+6>0,那么结果就是x>-2或x<-3了
这句口诀是因为-(x+2)(x+3)>0解到这一步时,要么x+2>0,x+3<0,要么x+2,<0,x+3>0
这样的话,前一个不等式组无解,后面一个不等式组即是-3<x<-2,这也就是大取中间的由来
下面解一下你的这题:
由方程组的解容易知道a<0,并且由m>0可以知道方程ax平方+bx+c=0两根同正
那么由韦达定理:c/a=x1*x2>0∴c<0
再看方程cx平方+bx+a=0
0显然不是它的解
所以等式两边可以同除以x平方
∴c+b(1/x)+a(1/x)平方=0
可见这个方程的根是与ax平方+bx+c=0根成相反数关系,即两根为1/m和1/n
∴由“小取两边”可以知道:cx平方+bx+a<0的解集为x>1/m或x<1/n
第2个回答  2011-07-26
大取中间,小取两边”是对于二次项系数为正的二次不等式而成立的,只要画出对应的抛物线的简图就知道了~~
不等式ax²+bx+c>0的解集是m<x<n,画出抛物线的简图就知道a<0且m,n是方程ax²+bx+c=0的根,由韦达定理得-(b/a)=m+n,c/a=mn ,∴b= -a(m+n),c=amn,
∴cx²+bx+a=amnx²-a(m+n)x+a<0,两边同时除以a,则
mnx²-(m+n)x+1>0,∴(mx-1)(nx-1)>0,又m<n且m>0,∴1/n<1/m
画出抛物线简图就知道x>1/m或x<1/n
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