ä¸è§å½æ°å
¬å¼
两è§åå
¬å¼
sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA
cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB
tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)
ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)
åè§å
¬å¼
tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctga
cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a
åè§å
¬å¼
sin(A/2)=â((1-cosA)/2) sin(A/2)=-â((1-cosA)/2)
cos(A/2)=â((1+cosA)/2) cos(A/2)=-â((1+cosA)/2)
tan(A/2)=â((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-â((1-cosA)/((1+cosA))
ctg(A/2)=â((1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-â((1+cosA)/((1-cosA))
åå·®å积
2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)
2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)
sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)
tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB
ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB
æäºæ°åån项å
1+2+3+4+5+6+7+8+9+â¦+n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15+â¦+(2n-1)=n2
2+4+6+8+10+12+14+â¦+(2n)=n(n+1) 12+22+32+42+52+62+72+82+â¦+n2=n(n+1)(2n+1)/6
13+23+33+43+53+63+â¦n3=n2(n+1)2/4 1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+â¦+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3
æ£å¼¦å®ç a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R æ³¨ï¼ å
¶ä¸ R 表示ä¸è§å½¢çå¤æ¥ååå¾
ä½å¼¦å®ç b2=a2+c2-2accosB 注ï¼è§Bæ¯è¾¹aåè¾¹cç夹è§
弧é¿å
¬å¼ l=a*r aæ¯åå¿è§ç弧度æ°r >0 æå½¢é¢ç§¯å
¬å¼ s=1/2*l*r
ä¹æ³ä¸å å¼å a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b(a2+ab+b2)
ä¸è§ä¸çå¼ |a+b|â¤|a|+|b| |a-b|â¤|a|+|b| |a|â¤b<=>-bâ¤aâ¤b
|a-b|â¥|a|-|b| -|a|â¤aâ¤|a|
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äºæ¬¡æ¹ç¨ç解 -b+â(b2-4ac)/2a -b-â(b2-4ac)/2a
æ ¹ä¸ç³»æ°çå
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å¤å«å¼
b2-4ac=0 注ï¼æ¹ç¨æ两个ç¸ççå®æ ¹
b2-4ac>0 注ï¼æ¹ç¨æ两个ä¸ççå®æ ¹
b2-4ac<0 注ï¼æ¹ç¨æ²¡æå®æ ¹ï¼æå
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ï¼cos^2ï¼x=i=cos2x/2
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sina=2t/(1+t^2)
cosa=(1-t^2)/(1+t^2)
tana=2t/(1-t^2)
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æ¨è®º2ï¼ç»è¿ä¸¤æ¡ç¸äº¤ç´çº¿ï¼æä¸åªæä¸ä¸ªå¹³é¢ã
æ¨è®º3ï¼ç»è¿ä¸¤æ¡å¹³è¡ç´çº¿ï¼æä¸åªæä¸ä¸ªå¹³é¢ã
å
¬ç4 ï¼å¹³è¡äºåä¸æ¡ç´çº¿ç两æ¡ç´çº¿äºç¸å¹³è¡ã
çè§å®çï¼å¦æä¸ä¸ªè§ç两边åå¦ä¸ä¸ªè§ç两边åå«å¹³è¡å¹¶ä¸æ¹åç¸åï¼é£ä¹è¿ä¸¤ä¸ªè§ç¸çã
空é´ä¸¤ç´çº¿çä½ç½®å
³ç³»ï¼
空é´ä¸¤æ¡ç´çº¿åªæä¸ç§ä½ç½®å
³ç³»ï¼å¹³è¡ãç¸äº¤ãå¼é¢
1ãææ¯å¦å
±é¢å¯å为两类ï¼
ï¼1ï¼å
±é¢ï¼ å¹³è¡ã ç¸äº¤
ï¼2ï¼å¼é¢ï¼
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ç两æ¡ç´çº¿ææ¢ä¸å¹³è¡ä¹ä¸ç¸äº¤ã
å¼é¢ç´çº¿å¤å®å®çï¼ç¨å¹³é¢å
ä¸ç¹ä¸å¹³é¢å¤ä¸ç¹çç´çº¿ï¼ä¸å¹³é¢å
ä¸ç»è¿è¯¥ç¹çç´çº¿æ¯å¼é¢ç´çº¿ã
两å¼é¢ç´çº¿ææçè§ï¼èå´ä¸º ( 0°ï¼90° ) esp.空é´åéæ³
两å¼é¢ç´çº¿é´è·ç¦»: å
¬å线段(æä¸åªæä¸æ¡) esp.空é´åéæ³
2ãè¥ä»ææ å
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±ç¹çè§åº¦çå¯å为两类ï¼
ï¼1ï¼æä¸ä»
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è§å®ï¼aãç´çº¿ä¸å¹³é¢åç´æ¶ï¼ææçè§ä¸ºç´è§ï¼bãç´çº¿ä¸å¹³é¢å¹³è¡æå¨å¹³é¢å
ï¼ææçè§ä¸º0°è§
ç±æ¤å¾ç´çº¿åå¹³é¢ææè§çåå¼èå´ä¸º [0°ï¼90°]
æå°è§å®ç: æ线ä¸å¹³é¢ææçè§æ¯æ线ä¸è¯¥å¹³é¢å
ä»»ä¸æ¡ç´çº¿ææè§ä¸çæå°è§
ä¸å线å®çåéå®ç: å¦æå¹³é¢å
çä¸æ¡ç´çº¿,ä¸è¿ä¸ªå¹³é¢çä¸æ¡æ线çå°å½±åç´ï¼é£ä¹å®ä¹ä¸è¿æ¡æ线åç´
esp.ç´çº¿åå¹³é¢åç´
ç´çº¿åå¹³é¢åç´çå®ä¹ï¼å¦æä¸æ¡ç´çº¿aåä¸ä¸ªå¹³é¢ å
çä»»æä¸æ¡ç´çº¿é½åç´ï¼æ们就说ç´çº¿aåå¹³é¢ äºç¸åç´.ç´çº¿aå«åå¹³é¢ çå线ï¼å¹³é¢ å«åç´çº¿açåé¢ã
ç´çº¿ä¸å¹³é¢åç´çå¤å®å®çï¼å¦æä¸æ¡ç´çº¿åä¸ä¸ªå¹³é¢å
ç两æ¡ç¸äº¤ç´çº¿é½åç´ï¼é£ä¹è¿æ¡ç´çº¿åç´äºè¿ä¸ªå¹³é¢ã
ç´çº¿ä¸å¹³é¢åç´çæ§è´¨å®çï¼å¦æ两æ¡ç´çº¿ååç´äºä¸ä¸ªå¹³é¢ï¼é£ä¹è¿ä¸¤æ¡ç´çº¿å¹³è¡ã
â¢ç´çº¿åå¹³é¢å¹³è¡ââ没æå
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ç´çº¿åå¹³é¢å¹³è¡çå¤å®å®çï¼å¦æå¹³é¢å¤ä¸æ¡ç´çº¿åè¿ä¸ªå¹³é¢å
çä¸æ¡ç´çº¿å¹³è¡ï¼é£ä¹è¿æ¡ç´çº¿åè¿ä¸ªå¹³é¢å¹³è¡ã
ç´çº¿åå¹³é¢å¹³è¡çæ§è´¨å®çï¼å¦æä¸æ¡ç´çº¿åä¸ä¸ªå¹³é¢å¹³è¡ï¼ç»è¿è¿æ¡ç´çº¿çå¹³é¢åè¿ä¸ªå¹³é¢ç¸äº¤ï¼é£ä¹è¿æ¡ç´çº¿å交线平è¡ã
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两个平é¢å¹³è¡çå¤å®å®çï¼å¦æä¸ä¸ªå¹³é¢å
æ两æ¡ç¸äº¤ç´çº¿é½å¹³è¡äºå¦ä¸ä¸ªå¹³é¢ï¼é£ä¹è¿ä¸¤ä¸ªå¹³é¢å¹³è¡ã
两个平é¢å¹³è¡çæ§è´¨å®çï¼å¦æ两个平è¡å¹³é¢åæ¶å第ä¸ä¸ªå¹³é¢ç¸äº¤ï¼é£ä¹äº¤çº¿å¹³è¡ã
bãç¸äº¤
äºé¢è§
ï¼1ï¼ åå¹³é¢ï¼å¹³é¢å
çä¸æ¡ç´çº¿æè¿ä¸ªå¹³é¢åæ两个é¨åï¼å
¶ä¸æ¯ä¸ä¸ªé¨åå«ååå¹³é¢ã
ï¼2ï¼ äºé¢è§ï¼ä»ä¸æ¡ç´çº¿åºåç两个åå¹³é¢æç»æçå¾å½¢å«åäºé¢è§ãäºé¢è§çåå¼èå´ä¸º [0°ï¼180°]
ï¼3ï¼ äºé¢è§ç棱ï¼è¿ä¸æ¡ç´çº¿å«åäºé¢è§ç棱ã
ï¼4ï¼ äºé¢è§çé¢ï¼è¿ä¸¤ä¸ªåå¹³é¢å«åäºé¢è§çé¢ã
ï¼5ï¼ äºé¢è§çå¹³é¢è§ï¼ä»¥äºé¢è§ç棱ä¸ä»»æä¸ç¹ä¸ºç«¯ç¹ï¼å¨ä¸¤ä¸ªé¢å
åå«ä½åç´äºæ£±ç两æ¡å°çº¿ï¼è¿ä¸¤æ¡å°çº¿ææçè§å«åäºé¢è§çå¹³é¢è§ã
ï¼6ï¼ ç´äºé¢è§ï¼å¹³é¢è§æ¯ç´è§çäºé¢è§å«åç´äºé¢è§ã
esp. 两平é¢åç´
两平é¢åç´çå®ä¹ï¼ä¸¤å¹³é¢ç¸äº¤ï¼å¦æææçè§æ¯ç´äºé¢è§ï¼å°±è¯´è¿ä¸¤ä¸ªå¹³é¢äºç¸åç´ã记为 â¥
两平é¢åç´çå¤å®å®çï¼å¦æä¸ä¸ªå¹³é¢ç»è¿å¦ä¸ä¸ªå¹³é¢çä¸æ¡å线ï¼é£ä¹è¿ä¸¤ä¸ªå¹³é¢äºç¸åç´
两个平é¢åç´çæ§è´¨å®çï¼å¦æ两个平é¢äºç¸åç´ï¼é£ä¹å¨ä¸ä¸ªå¹³é¢å
åç´äºäº¤çº¿çç´çº¿åç´äºå¦ä¸ä¸ªå¹³é¢ã
Attentionï¼
äºé¢è§æ±æ³ï¼ç´æ¥æ³ï¼ä½åºå¹³é¢è§ï¼ãä¸å线å®çåéå®çãé¢ç§¯å°å½±å®çã空é´åéä¹æ³åéæ³ï¼æ³¨ææ±åºçè§ä¸æéè¦æ±çè§ä¹é´ççè¡¥å
³ç³»ï¼
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棱æ±
棱æ±çå®ä¹ï¼æ两个é¢äºç¸å¹³è¡ï¼å
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Œ
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ï¼2ï¼ä¸¤ä¸ªåºé¢ä¸å¹³è¡äºåºé¢çæªé¢æ¯å
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ï¼3ï¼è¿ä¸ç¸é»ç两æ¡ä¾§æ£±çæªé¢ï¼å¯¹è§é¢ï¼æ¯å¹³è¡å边形
棱é¥
棱é¥çå®ä¹ï¼æä¸ä¸ªé¢æ¯å¤è¾¹å½¢ï¼å
¶ä½åé¢é½æ¯æä¸ä¸ªå
Œ
±é¡¶ç¹çä¸è§å½¢ï¼è¿äºé¢å´æçå ä½ä½å«å棱é¥
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ï¼1ï¼ ä¾§æ£±äº¤äºä¸ç¹ã侧é¢é½æ¯ä¸è§å½¢
ï¼2ï¼ å¹³è¡äºåºé¢çæªé¢ä¸åºé¢æ¯ç¸ä¼¼çå¤è¾¹å½¢ãä¸å
¶é¢ç§¯æ¯çäºæªå¾ç棱é¥çé«ä¸è¿æ£±é¥é«çæ¯çå¹³æ¹
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æ£æ£±é¥çå®ä¹ï¼å¦æä¸ä¸ªæ£±é¥åºé¢æ¯æ£å¤è¾¹å½¢ï¼å¹¶ä¸é¡¶ç¹å¨åºé¢å
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æ£æ£±é¥çæ§è´¨ï¼
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bãåé¢ä½ä¸æä¸å¯¹å¼é¢ç´çº¿ï¼è¥æ两对äºç¸åç´ï¼åå¯å¾ç¬¬ä¸å¯¹ä¹äºç¸åç´ãä¸é¡¶ç¹å¨åºé¢çå°å½±ä¸ºåºé¢ä¸è§å½¢çåå¿ã
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ï¼2ï¼ç´çº¿çæç
â å®ä¹ï¼å¾æè§ä¸æ¯90°çç´çº¿ï¼å®çå¾æè§çæ£åå«åè¿æ¡ç´çº¿çæçãç´çº¿çæç常ç¨k表示ãå³ ãæçåæ ç´çº¿ä¸è½´çå¾æç¨åº¦ã
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å½ æ¶ï¼ ï¼
å½ æ¶ï¼ ä¸åå¨ã
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(2)kä¸P1ãP2ç顺åºæ å
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(3)以åæ±æçå¯ä¸éè¿å¾æè§èç±ç´çº¿ä¸ä¸¤ç¹çåæ ç´æ¥æ±å¾ï¼
(4)æ±ç´çº¿çå¾æè§å¯ç±ç´çº¿ä¸ä¸¤ç¹çåæ å
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å½ç´çº¿çæç为90°æ¶ï¼ç´çº¿çæçä¸åå¨ï¼å®çæ¹ç¨ä¸è½ç¨ç¹æå¼è¡¨ç¤ºï¼ä½å
lä¸æ¯ä¸ç¹ç横åæ é½çäºx1ï¼æ以å®çæ¹ç¨æ¯x=x1ã
â¡ææªå¼ï¼ ï¼ç´çº¿æç为kï¼ç´çº¿å¨yè½´ä¸çæªè·ä¸ºb
â¢ä¸¤ç¹å¼ï¼ ï¼ ï¼ç´çº¿ä¸¤ç¹ ï¼
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ï¼9ï¼ä¸¤å¹³è¡ç´çº¿è·ç¦»å
¬å¼
å¨ä»»ä¸ç´çº¿ä¸ä»»åä¸ç¹ï¼å转å为ç¹å°ç´çº¿çè·ç¦»è¿è¡æ±è§£ã
åçæ¹ç¨
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ï¼2ï¼ä¸è¬æ¹ç¨
å½ æ¶ï¼æ¹ç¨è¡¨ç¤ºåï¼æ¤æ¶åå¿ä¸º ï¼åå¾ä¸º
å½ æ¶ï¼è¡¨ç¤ºä¸ä¸ªç¹ï¼ å½ æ¶ï¼æ¹ç¨ä¸è¡¨ç¤ºä»»ä½å¾å½¢ã
ï¼3ï¼æ±åæ¹ç¨çæ¹æ³ï¼
ä¸è¬é½éç¨å¾
å®ç³»æ°æ³ï¼å
设åæ±ãç¡®å®ä¸ä¸ªåéè¦ä¸ä¸ªç¬ç«æ¡ä»¶ï¼è¥å©ç¨åçæ åæ¹ç¨ï¼
éæ±åºaï¼bï¼rï¼è¥å©ç¨ä¸è¬æ¹ç¨ï¼éè¦æ±åºDï¼Eï¼Fï¼
å¦å¤è¦æ³¨æå¤å©ç¨åçå ä½æ§è´¨ï¼å¦å¼¦çä¸å线å¿
ç»è¿åç¹ï¼ä»¥æ¤æ¥ç¡®å®åå¿çä½ç½®ã
ç´çº¿ä¸åçä½ç½®å
³ç³»
ç´çº¿ä¸åçä½ç½®å
³ç³»æç¸ç¦»ï¼ç¸åï¼ç¸äº¤ä¸ç§æ
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