第1个回答 2007-04-14
概率与排列组合,是比较头痛的事,但是它们却很有用...大学还在学呢.
概率最关键的就是要知道它是一种计算方法,
排列组合,关键的是把一些相类似的但解法又不同的题目放在一起比对一下...
最后,关键的是多做习题,多总结思路.
第2个回答 2007-04-14
地区 排列组合 二项式定理 概率 概率统计 分值
福建 6 9 15 18 26
辽宁 12 16 8 14
重庆 11 13 18 21
浙江 15 7 18 21
天津 16 15 13、18 24
四川、吉林 12 18 13 21
江苏 3 7 19 21
湖南 15 5、14 13
湖北 14 13、21 20
甘肃、青海 9 13 19 21
通过对上述各个省市的抽样分析，发现每份试卷本章节都至少占了3道题，所占分值基本在21分左右，如天津卷、本省分别高达2 4分、2 6分，占总分16％、16.7％，这说明了本章节在教材的重要地位。
二、重要知识点分析及相应的复习对策
（一）两个计数原理
分类计数原理和分步计数原理是本章的理论依据，是进一步学习排列组合、二项式定理的基础，在分析问题指导解体中起关键作用。它们的区别在于：完成一件事情有几类方法，且各种方法相互独立（互斥性），用分类计数原理；完成一件事需要分几个步骤，且各个步骤相互依存（相依性），依次完成几个步骤才算完成这件事，用分步计数原理。分清使用这两个原理的关键在于：明确事件需要分类还是分步完成。分类就把各类方法数相加，分步就把各步方法数相乘，并且选择分步的标准是利用分步计数原理又一关键。
所应采用的复习策略是精选几道有代表性的例题，通过比较以便加深对这两个原理的透彻理解。
典例1：电视台在“欢乐今宵”节目中拿出两个信箱，其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众的来信，甲信箱中有30封，乙信箱中有20封，理由主持人抽奖确定幸运观众，，若先确定一名幸运观众之星，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴，有多少种不同的结果？
分析：分三步完成抽奖过程，考虑到幸运之星可分别出现在两个信箱，故可分两种情形考虑。
解：分两类：（1）幸运之星在甲箱中抽，先定幸运之星，再在两箱中各定一名幸运伙伴有30×29×20=17400种结果；（2）幸运之星在乙箱中抽，同理由20×19×30=11400种结果，因此共有不同结果17400+11400=28800种
评析：在综合运用两个原理时，既要会合理分类，又能合理分步，一般情形是先分类后分步。
（二）排列、组合
排列、组合是高中数学中从内容到方法都比较独特的一个组成部分，是进一步学习概率论的基础知识。该部分内容，不论其思考方法和解题都有特殊性，概念性强，抽象性强，灵活性强，思维方法新颖，解题过程极易犯“重复”或“遗漏”的错误，并且结果数目较大，无法一一验证，因此给考生带来一定困难。解决问题的关键是加深对概念的理解，掌握知识的内在联系和区别，科学周全的思考分析问题。
复习过程中应注意基础知识、基本方法、基本技能的训练，指导学生解决一些简单问题，不必贪多求难，但必须要求准确熟练。关于排列组合应用题，从排列的角度来讲，它主要有三种题型：“在”与“不在”，“邻”与“不邻”，定序排列。“在”与“不在”中，要先考虑条件元素，即先考虑固定元素或特殊元素，若从位置角度分析，先考虑固定位置或特殊位置。“邻”是集组排列，即采用捆绑法，“不邻”是插空排列，而定序排列有固定公式：一般地，若n个元素排队，其中有m个元素顺序一定，这m个元素不一定相邻，则不同排法 。
组合中常见题型有“至少”、“至多”问题，“含与不含”问题。在“至少”、“至多”问题中，可直接法来解，须分类，应做到不重不漏；也可间接法来解，即整体排除法，利用这种方法时，应把握好“至多”或“至少”的对立面。“含与不含”是选的范畴问题，同时也可利用它来理解组合数的性质。含或不含某元素，在选时不必再考虑，如在n个不同元素中选m个元素（n<m），若甲必选的选法有 ，若甲不选，则选法有 。
解答组合应用题的总体思路：①整体分类，对事件进行整体分类，从集合的意义讲，分类要做到各类的并集等于全集，以保证分类的不遗漏，任意两类的交集等于空集，以保证分类的不重复，计算结果时，使用加法原理；②局步分布，整体分类以后，对每一类进行局部分步，分步要做到步骤连续，以保证分步的不重复，计算每一类的相应结果时，使用乘法原理；③考察顺序，区别排列与组合的重要标志是“有序”与“无序”；④辩证地看待“元素”与“位置”，有时“元素选位置”，问题解决得简捷，有时“位置选元素”效果会更好。
对本节复习还应注意发散思维，逆向思维能力的培养，通过分类讨论把复杂问题分解，以及运用集合观点、整体思想从全集、补集入手，使问题简化。以上这些，均需在复习训练加以体会、掌握和运用。
典例2：二次函数 的系数a,b,c在集合{-3,-2,-1,0,1,2,3,4}中选取不同的值，则可确定坐标原点在抛物线内部的抛物线有多少条？
思路：先将坐标原点在抛物线内部的特征性质等价转化为a,b,c的限制，再确定满足条件的数对(a,b,c)。
解析：有图形特征分析：a>0，开口向上，坐标原点在内部，等价于f(0)=c<0； a<0,开口向下，原点在内部，等价于f(0)=c>0。所以对于抛物线 来讲，原点在内部等价于af(0)=ac<0,则确定抛物线时，可先定一正一负的a和c，再确定b。故满足题意的抛物线共有 条。
点评：这是一道排列组合和解析几何的综合题，等价将图形性质转化为数量关系是解决问题的基础和关键。
（三）二项式定理
二项式定理是进一步学习概率论和数理统计的基础知识。首先应掌握定理内容：对n ， ，展开式的第r+1项（通项） 必须加以强调，其中 （r=0.1.2. n）叫做二项式系数。对通项要注意以下几点：（1）它表示二项展开式中的任意项，只要n与r确定，该项也随即确定。（2）公式表示的是第r＋1项，而不是第r项。（3）公式中的a,b的位置不能颠倒，它们的指数和一定为n。另外，要注意区分展开式的第r+1项的二项式系数 与第r+1项的系数是不同概念，这需要老师在复习过程中多举几例加以说明。
二项式系数的和等于 ；二项展开式中，偶数项系数和等于奇数项的系数和，即 。这两个性质是采用赋值法推导出来的。在复习过程中，应注意赋值法在二项展开式中的运用。赋值法的模式：命题f对任意的 恒成立，则对特殊值 ，命题f也成立。特殊值 如何选取？视具体问题而定，没有一成不变的规律，它的灵活性较强，但选 较多，如天津卷的第15题，就赋予 来解决问题，这种题型在以往的高考题是有出现过的，应引起重视。
二项式定理应用主要有： ⅰ 求特定项或特定项的系数，这种题型的考查机率相当高，只要紧紧把握住通项公式即可解决问题。如重庆卷的第13题，浙江卷的第7题，江苏卷的第7题，湖南卷的第15题，都是考查这方面的知识。ⅱ 证明整除性或求余数。ⅲ 求近似值。ⅳ 证明恒等式。在证明整除性中关键是凑除数，求近似值中关键是把握近似数。当n不很大， 比较小时， ，常用于应用题的估算。
典例3：设 是定义在R上的函数,且： （1）若 =1，求 ； （2）若 =x,求 ；
解析：（1） =1 所以 所以
又 无意义，即 ，且 ，
（2）因为 所以 所以
且
点评：此题表面看似函数问题，其实是与二项式定理的巧妙整合，把二项式定理渗透到函数中去，主要考查对定理的灵活应用，逆应用，同时考查求函数解析式必须注明定义域，这点经常被忽视。
（四）概率
概率是概率论的入门，是新增内容，它与实际生活有紧密的联系，这也就使概率成了高考的热点问题。
1． 随机事件的概率与等可能事件的概率的关系：在一次试验中，随机事件A可能发生也可能不发生，但随着重复试验次数的大量增加，事件A发生的频率 总是在某一固定的常数值附近摆动，我们用这个频率近似地作为这一事件发生的概率，这是认识概率的基础。当一次试验中可能出现的结果有 个且所有结果出现的可能性都相等，若事件A包含的结果有 个，则我们能直接确定事件A发生的概率为 。
2． 互斥事件与对立事件的关系：两个互斥事件不一定是对立事件，但两个对立事件必为互斥事件。
3． 注意区分事件的“互斥”与“相互独立”是两个不同的概念，两事件互斥是指两个事件不可能同时发生，两事件互相独立是指一个事件的发生与否对另一件事发生的概率没有影响。至于n次独立重复试验中事件A恰好发生K次的概率记为 ，其实质上是 种情况彼此互斥，而每种情况事件A发生K次的概率都相同为 ，其中p为一次试验中事件A发生的概率。
4． 所应采用的复习策略：让学生搞清基本概念，明确各种概率类型的实际意义。为了区别这5种概率，应多找些有针对性的典型例题来讲解，教学生如何分析题意，确定事件及事件的性质，找出所适用的概率类型，避免因误解题意，选用不恰当的概率类型。同时，在讲解例题过程中，必须向学生强调书写的三步骤：先根据题意构造事件，如A+B表示互斥事件有一个发生， 表示相互独立事件同时发生；然后是过程；最后须下结论，应避免不必要的失分。
典例4：（辽宁卷） 口袋内装有10个相同的球，其中5个球标有数字0，5个球标有数字1，若从袋中摸出5个球，那么摸出的5个球所标数字之和小于2或大于3的概率是________（以数值作答）
解析：从间接法考虑。先求5个球所标数字之和大于等于2，且小于等于3的概率
则 满足题意的概率为
若从直接法去做，涉及到的情况就比较多，这就体现出高考新动向让考生多增加思考空间少动笔。
典例5：（四川卷） 已知8支球队中有3支弱队，以抽签方式将这8支球对分为A，B两组，每组4支，求：（I）A，B两组中有一组恰有两支弱队的概率；
（II）A组中至少有两支弱队的概率。
解析：（I）解法一：三支弱队在同一组的概率为
故有一组恰有两支弱队的概率为 。
解法二：有一组恰有两支弱队的概率 。
（II）解法一：A组中至少有两支若队的概率
解法二：A，B两组有一组至少有两支弱队的概率为1，由于对A组和B组来说，至少有两支弱队的概率是相同的，所以A组中至少有两支弱队的概率为 。
点评 ：本题主要考查组合，概率等基本概念，相互独立事件和互斥事件等概念的计算，运用数学知识解决问题的能力。
（四）概率与统计
本知识块内容是初中数学的统计初步和高中数学必修课中概率内容的深化和扩展。通过对04届各地高考卷的统计发现几乎都有一道解答题的形式出现，有的还增加一道选择、填空题，这说明此知识块的重要地位。
1、 离散型随机变量的分布列
复习中首先要练习在随机事件找出随机变量的所有取值（所有结果），然后再求出对应
于随机变量每一个值的概率，得出分布列。
①对分布列要掌握两个性质：
一般地，离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和。
②常见的分布列：
二项分布，它的分布列为
其中
2、 离散型随机变量的期望和方差
数学期望与方差，标准差都是离散型随机变量最重要的数学特征，它们分别反映了随机变量取值的平均水平，稳定程度，集中与分散的程度。离散型随机变量的数学期望与方差都与随机变量的分布列有密切关系，方差又与数学期望紧密相连，复习时应重点记住以下重要公式与结论：一般地，若离散型随机变量 的分布列为，
… … …
… … …
则期望
方差
标准差
若
3、 抽样方法，总体分布的估计
简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的共同特点是在抽样过程中每一个个体被抽取的概率相等，体现了这些抽样方法的客观性和公平性，其中简单随机抽样是最简单和最基本的抽样方法，在进行系统抽样和分层抽样是都要用到简单随机抽样方法，当总体中的个体数较少时，常采用简单随机抽样，当总体中的个体数较多时，常采用系统抽样，当已知总体由差异明显的几部分组成时，而这一差异又恰好与研究的问题密切相关时，常采用分层抽样。
简单随机抽样的方法有：抽鉴法与随机数表法。
系统抽样的步骤：ⅰ将总体中的个体随机编号。ⅱ将编号分段。ⅲ在第1段中用简单随机抽样确定起始的个体编号。ⅳ按照事先确定的规则抽取样本。
分层抽样的步骤：ⅰ分层。ⅱ按比例确定每层抽取个体的个数。ⅲ各层抽样。ⅳ汇合成样本。
4、复习指导
①把握基本题型。
应用本章只是要解决的题型主要分两大类：一类是应用随机变量的概念，特别是离散型随机变量分布列以及期望与方差的基础知识，讨论随机变量的取值范围，取相应值的概率及期望的求解计算；另一类主要是如何抽取样本及如何用样本去估计总体。作为本章知识的一个综合应用，教材以实习作业作为一节给出，应给予足够的重视。
②重视数学思想的复习。
a、 极限的思想：如连续型随机变量概率密度的引入，用频率分布估计总体分布，随样本容量无限大，频率分布直方图趋于总体密度曲线等。
b、 模型化和分类讨论的思想：由于随机现象的复杂性，在研究问题时首先要与已知模型比较，比如是离散型还是连续型，又离散型是否属于二项分布等，不同类型问题时用不同模型解决，对总体的估计及对特征数的估计也一样。
典例6：从学校乘汽车到火车站的途中有三个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是 ，设ξ为途中遇到红灯的次数，求随机变量ξ的分布列，分布函数F（X）= （ξ≤X）的数学期望和方差。
解析：依题意知ξ服从二项分布，即ξ～B（3， ）从而有
从而 的分布函数为
的数学期望和方差分别为
三、预测2005年概率与统计的命题趋势
例1：甲、乙二人做射击游戏，甲、乙射击击中与否是相对独立事件，规则如下：若射击一次击中，则原射击人继续射击；若射击一次不中，就由对方接替射击。已知：甲、乙二人射击一次击中的概率均为 ，且第一次由甲开始射击。
（1） 求前4次射击中甲恰好射击3次的概率为多少？
（2） 若第n次由甲射击的概率为 ，求数列 的通项公式；求 ，并说明极限值的实际意义。
解：记A为甲射击，B为乙射击，则 。设n次由乙射击的概率为 ，则 。
（1） 前4次射击中甲恰好射击3次可列举为下面三个独立事件：AAAB,AABA,ABAA。故所求的概率为： 。
（2） 第n+1次由甲射击这一事件，包括第n次由甲射击、第n+1次继续由甲射击这一事件以及第n次由乙射击、第n+1次由甲射击这一事件。这两事件发生的概率是互斥的且发生的概率分别是： 则有关系式
。则有 ，即数列 成等比数列，首项为 ，公比为 。
，从极限等于 可知，当两人射击总次数较多是，甲、乙两人分别射击的次数接近均等。