关于偏导数、可微、连续之类的问题，求指教！

Question

就是偏导连续、可微、函数连续、偏导存在、方向导数存在，如何证明？
特别是证明偏导连续、可微。什么情况下可以用公式，什么情况下只能用定义？
有些题老是问证明函数可微但导数不连续什么的，对它们的关系和求证方法都很混乱，不知道该怎么证，求指教！

Answer 1

这一串关系要搞清楚，可微=>两偏导数存在，两偏导数连续=>可微。
函数连续：如果是初等的就是连续的，如果是分段的，看每一段是否连续，段与段之间是否连续。
偏导数连续：把它求出来，如果是初等的就是连续的，如果是分段的，看每一段是否连续，段与段之间是否连续。
可微：如果两个偏导数连续，就可以证明，不连续，就只能用定义证。
偏导数存在：如果知道是可微的，那么就存在了。如果不连续，就不可导。初等的在定义域内偏导数存在。否则（一般是分段的）就只能用定义了。
方向导数存在：只须有可微的条件就可以了。否则还是要用定义判断。追问

那用定义是怎么证的啊？证明连续就是左边极限等于右边极限么？

Answer 2

所有偏导连续推出可微推出函数连续,偏导存在,方向导数存在.

偏导连续是可微的充分条件 不是必要条件!

证明一般数学分析书都有   就是用中值公式

Answer 3

如果是证明偏导连续，只需要求得左偏导和右偏导，看左右是否相等即可；
如果是证明可微，先用公式试求是否存在，如果不存在再用定义证明。