不等式问题，大家帮我想想招。

Question

问题：若1<x<4，4<y<5，则－5<－y<－4，那就有：－4<x－y<0；
将上面问题作如下探索：若已知4<y<5，及－4<x－y<0，能否得到1<x<4呢？
解答如下：将4<y<5与－4<x－y<0相加，有0<x<5。
请问：出现这样的结局的原因是什么？
补充：从未提过问题，借此尝试下提问的具体操作。另外，这个问题的确还是蛮有意思的。苏教版高一数学必修五的《不等式》第一节“不等关系”中，出现这样的问题，我们在备课时作了点变式，借百度知道平台展开思索。谢谢所有的回答者！！！
在此，主要想解决两个问题：
1、这样做为什么出现不一致？
2、能否说，反过来解的x的区间肯定可以覆盖原先x的区间？

Answer 1

良驹绝影，你好：
我看出来了，不等式传递性的运用，比如原第一个问题：问题：若1<x<4，4<y<5，则－5<－y<－4，那就有：－4<x－y<0；这显然没错，不等式叠加后，能得到叠加式的上下界（不能达到的，不是确界），但并不能反推叠加式中其中的一个变量的准确范围。比如说你问能否得到1<x<4,这个仍然在（0，5）范围内。追问

1、按照学生一般的思维习惯，肯定会猜想是可以得到原来的x的取值范围的，我们也认为这样的解答有问题的。问题是如何给予说明并加以纠正？
2、反过来得到的x的范围是否可以认为必定能覆盖题目中给定的x的范围？能否证明或举出反例？

追答

1,不错，按逆向性思维，会猜想得到原X的范围，但是不等式的传递性，问题的关键在这个地方：4<y<5 变化这个式子－4<x－y<0，移项有 y-4<x<y,而 0<y-4<1,另外 y<5,不等号的方向不能变，再次叠加时，只能取两头的，则有0<x<5。我不知道是否讲清楚，但你应该明白我的意思。
2，必然能覆盖，我上面的思路，虽然只是针对这个特殊，但其实对于一般的问题也是一样的证明。

追问

y－4<x<y及0<y－4<1，这两个结论应该是正确的，但从中还是无法确定x和1的大小关系的。

追答

我已经解释了啊，关键是不等式要想传递，必然不等号方式一致才能叠加，这才是问题的关键，上面移项后，分别有y-45,只能根据不等号方向叠加后有1<4,就是这个情况

Answer 2

因为这几个式子都是不等式，虽然不等式也有传递性，但与等式还是有差别的，0<x<5成立还是成立的，因为你不是完全逆回去的，已知4<y<5，及－4<x－y<0，要得到1<x<4，应该也要先得到－5<－y<－4，然后再用－4<x－y<0减去－5<－y<－4，就可以得到1<x<4了。追问

用－4<x－y<0减去－5<－y<－4？？？怎么减？？

追答

-4减-5得1,x-y减-y得x,0减-4得4,<照移,就得到了1<x<4

追问

按照你的操作，若1<x<7，－4<y<6，那就可以得到5<x－y<1。这怎么可能？？

追答

嗯,你说的有道理,我考虑得不周全,应该只能用加的,不能用减的,但前面的问题应该从不等式的传递性与等式的传递性这一方面还区分,毕竟不等式表示的是不等关系,还是那句话,0<x<5成立还是成立的.

追问

我能否可以这样理解：由x的范围D、y的范围B可以确定出x－y的范围F；反过来，由y的范围B及刚才确定的x－y的范围F就可以来确定x的范围D'，且这个x的范围D'肯定能覆盖原来的x的范围D？？若是这样的话，能否证明？

追答

应该是的,证明的话,高手们一起讨论下。

Answer 3

1<X<7,-4<Y<6.是得到5<x-y<1是用加的 要先把-4<Y<6不等号两边同时添负号`不等试符号改变方向``在和1<X<7加就行了

Answer 4

若已知4<y<5，及－4<x－y<0，能推出1≤x≤4；
原因：两式为不等式，不能直接相加。
具体解算：若已知4<y<5，及－4<x－y<0，
1、拆分不等式为4<y，y<5；及－4<x－y，x-y<0；
2、若要满足－4<x－y，则x减去最大的y要大于-4，即x≥1；若要满足x-y<0，则x减去最小的y要小于0，即x≤4；
3、综合可得1≤x≤4。追问

我的问题的：
1、若1<x<4，4<y<5，则－5<－y<－4，那就有：－4<x－y<0；
仿照上述解答，类比成：若－4<x－y<0，4<y<5，那是不是就有1<x<4。并非是想得到－4<x－y<0这个结果。

追答

我的解答是得到1≤x≤4这个结果，不是4<x－y<0

Answer 5

呵呵，这个问题我可以做如下证明：
命题：对于定义域为【a,b】的数m，和定义域为【c,d】的数n,m+n的值域必然为【a+c,b+d】
证明：由于值域内的每个值都必然取到，所以该命题分为两部分：
1.任意的m+n∈【a+c,b+d】 这块易证明
2.对于任意的z∈【a+c,b+d】，必然存在x∈【a,b】,y∈【c,d】,使得x+y=z
证明利用1中结论
对于任意x∈【a,b 】，都有-x∈【-b,-a】因此y=z-x∈【z-b,z-a】
而z-b≤b+d-b=d并且z-a≥a+c-a=c，因此【z-b,z-a】和【c,d】的交集非空（反证可以得到）
因此取y属于上述交集部分，必然可以得到至少对应的一个x值
所以题目中所寻找的x和y恒存在，也就是对于原题值域的每个值，都有对应的可取自变量存在
3.由以上两方面可以知道命题正向是成立的

PS：我是大三学生，可能有些写法不规范了，老师别见怪啊 ，还有一块也是没写，就是命题1部分：
m+n不可能属于非【a+c,b+d】，这个也好证明
如果将证明2的部分扩展一下，证明所取到的x是否唯一，就能解决您所说的逆向命题是否成立的情况。追问

可否这样理解(一下所列不等式都是二元一次不等式)：
对于F(x，y)>0及G(x，y)>0所得到的x∈M，y∈N，则由M、N组成的长方形(长方形的边与坐标轴平行)恰好是覆盖上述平面区域的最小长方形？

追答

如果M是x的解集，N是y的解集，应该是可以这样理解的

追问

呵呵。这个想法是今天听课时突然想到的，也不知是否正确，想想好像应该是这样的。
谢谢。。