奇函数f（x）定义域为R，若f（x+1）为偶函数且f（-1）=-1则f（2019）+f（2020）？

Question

如题所述

Answer 1

∵f(x+1)是偶函数
∴f(x+1)=f(-x+1)
令x+1=t，则x=t-1
∴f(t)=f(-t+1+1)=f(-t+2)
∵奇函数f(x)的定义域是R
∴f(-x)=-f(x)，且f(0)=0
则f(x)=-f(-x)
令t=x，则f(t)=-f(-t)
∴f(-t+2)=-f(-t)
令m=-t+2，则-t=m-2
∴f(m)=-f(m-2)
再令m+2=m，则f(m+2)=-f(m)
∴f(m+2+2)=-f(m+2)
f(m+4)=-[-f(m)]，即：f(m+4)=f(m)
∴f(x)的周期T=4
∵2019=2020 - 1=505×4 - 1
∴f(2019)=f(-1)=-1
f(2020)=f(0)=0
则f(2019)+f(2020)=-1+0=-1

Answer 2

先找周期性，偶函数f(x+1)=f(-x+1)
见啥换啥，f(x+2)=f(-x)
f(x+4)=f(x),则T=4,
f（2020）=f(0），f(2019)=f(-1)=-1,
f(0)=0,
则f(2019)+f(2020)=-1+0=-1,
看看懂了吗，老铁。

Answer 3

因为f(x+1)是偶函数，所以f(x+1)=f(-x + 1)=f(1-x)
又f(x)是奇函数，所以f(1-x)=-f(x-1)，所以f(x+1)=-f(x-1) = f(x-3) = (-1)^n f(x-2n)
f(2020) +f(2019) = (-1)^1010 f(0) +(-1)^1010 f(-1) = -1