根据数列为无穷等比数列,且所有项的和为,得到极限存在,即公比大于等于小于等于,且不为,当官公比等于时,数列为常数列,利用首项表示出数列的前项的和,解出,当趋于无穷大时趋于,得到大于,当大于等于小于时,利用等比数列的前项和公式表示出,当趋于无穷大时,趋于,得到,解出,根据当时,取得最大值,即可解出的取值范围,同时因为公比不为,得到不等于,综上,写出的取值范围即可.
解:因为数列为无穷等比数列,且其所有项的和为,即其极限存在,故可知且,即且,当时,无穷等比数列为常数列,设为其所有项之和,则,即,当时,,即;当时,,当时,,于是有,即,当时,最大,所以得到,又,得到,综上,的范围是.故答案为:
此题考查学生灵活运用等比数列的前项和公式化简求值,要求学生会利用极限思想解决实际问题,是一道中档题.学生求范围的时候注意不为这个条件得到.
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