已知二维随机变量联合密度求概率

Question

我想知道第三和第四小问的思路，两个问题怎么转化成二重积分求解

Answer 1

解：(1)，利用概率密度函数的性质，有∫(-∞,∞)∫(-∞,∞)f(x,y)dxdy=1，∴k∫(0,1)∫(0,1)(x+y)dxdy=1。而，∫(0,1)(x+y)dy=x+1/2，∴k∫(0,1)(x+1/2)dx=1，k=1。
(2)，P(x<1/2,y<1/2)=∫(0,1/2)∫(0,1/2)(x+y)dxdy=∫(0,1/2)(x/2+1/8)dx=3/8。
(3)，P(x+y<1)=∫(0,1)∫(0,1-x)(x+y)dxdy=(1/2)∫(0,1)(1-x²)dx=1/3。
(4)，∵X的边缘分布的密度函数为fX(x)=∫(-∞,∞)f(x,y)dy=∫(0,1)f(x,y)dy=x+1/2，∴P(x<1/2)=∫(0,1/2)(x+1/2)dx=3/8。
供参考。