做题中如何避免施密特正交化这个步骤

Question

做题中如何避免施密特正交化这个步骤正交化很麻烦，我看真题解析里基本都没有最后要用到正交化这一步的，是不是在求特征向量这一步的时候做了一些什么变换来避免的呢？

Answer 1

特征值无重根，特征向量自然正交，不需正交化。
特征值有重根时，重根对应的特征向量一般不正交，要求正交变换时需要正交化。

如果你能对重特征值注意求出的正交的特征向量，就可避免正交化， 但求出本身不易。追问

有什么窍门呢，在求重根的时候故意让特征向量正交呢，是在列出x1 x2 x3…这一步的时候用还是在哪些地方能用到呢，真题里有吗

还有，二次型里非重根正交我知道，普通矩阵呢，正交吗，还是仅仅线性无关

Answer 2

没有使用施密特正交化，只能说那些题目设计得好，求出的特征向量都是相互正交的，巧合而已。这种不需要施密特正交化的题目大部分与二次型有关，实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量天然相互正交。追问

只有有重根才要正交化吧，二次型实对称阵里，无重根的天然正交，普通矩阵里没重根也是天然正交的吗

Answer 3

假如当前解的是个二重特征值，矩阵是个三阶矩阵，在根据矩阵解出第一个特征向量a1后，把解出的这个特征向量a1带回原来的矩阵，覆盖掉原来的为0的行向量，再解这个新矩阵，即可得出与a1正交的另一个特征向量a2