∑(n, 2→∞）1/ln²n 的敛散性？如何判断

Question

如题所述

Answer 1

由洛必达法则，lim(x→＋∞) x/ln²x＝lim(x→＋∞) 1/(2lnx×1/x)＝lim(x→＋∞) x/(2lnx)＝lim(x→＋∞) 1/(2/x)＝lim(x→＋∞) x/2＝＋∞
所以，lim(n→∞) (1/ln²n)/(1/n)＝lim(n→∞) n/ln²n ＝＋∞
级数∑1/n发散，由比较法，级数∑(n, 2→∞）1/ln²n 发散

Answer 2

用比较审敛法的推论做，求lim(n→∞)nUn=lim(n→∞)n/ln²n=∞,得级数∑(n, 2→∞）1/ln²n发散，而极限lim(n→∞)n/ln²n=∞计算方法是先将其改为关于x的极限，用罗必塔法则求得：
lim(x→∞)x/ln²x=lim(x→∞)x/2lnx=lim(x→∞)x/2=∞,由此得：lim(n→∞)n/ln²n=∞