有两种方法。第一种计算稍复杂,手算的话第二种更可行。
1. 作代换y=tanx. dy=dx/cos²x, cos²x=1/(1+y²), sin²x=y²/(1+y²).
∫(sinx)^6 dx=∫(sinx)^6*cos²x dy=∫y^6/(1+y²)^4 dy, 化为有理分式的积分。
2. 记A=∫(sinx)^6 dx, B=∫(cosx)^6 dx.
A+B=∫[(sin²x+cos²x)³-3sin²xcos²x(sin²x+cos²x)]dx=x-∫3sin²2x/4 dx=∫3(1-cos4x)/8 dx
B-A=∫[(cos²x-sin²x)[(sin²x+cos²x)²-sin²xcos²x]dx=∫cos2x(7-cos4x)/8 dx=(7/8)∫cos2x-∫(cos6x+cos2x)/16 dx
二者均可积,相减再除以2即得A. 具体还请LZ自行计算,以巩固此种方法。
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