函数y=f(x)的定义域为R，对任意x,y∈R,都有f（x+y）=f(x)+f(y),f(xy)=f(x)f(y)恒成立，当x不等于y时，（）

Question

函数y=f(x)的定义域为R，对任意x,y∈R,都有f（x+y）=f(x)+f(y),f(xy)=f(x)f(y)恒成立，当x不等于y时，f（x）不等于f(y), 证明1；若x>0,则f（x）>0; 2:f(x)是R上的单调递增函数。

Answer 1

1.f（x+y）=f(x)+f(y)
令y=0
f(x)=f(x)+f(0)
f(0)=0
x≠0时，f(x)≠0
对任意的x>0
f(x)=f(√x*√x)=f(√x)*f(√x)>0

2.任取x1,x2,使x1<x2
则x2-x1>0
f(x2-x1)>0
f(x2)=f(x1)+f(x2-x1)>f(x1)
∴f(x)是R上的单调递增函数

Answer 2

(1)因为f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0) ，所以f(0）=0
当x>0时， f(x)=f( x^(1/2) ) f( x^(1/2) )=f( x^(1/2) )^2 >0
(2) 因为 0=f(0）=f(x-x) =f(x)+f(-x) ,所以 f(-x) = - f(x)
若x2>x1, 则 f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)>0,所以f(x2)>f(x1)。单调递增

Answer 3

1、令x=y>0，可求出f（X^2）=f(x)f(x)>0，即可得若x>0,则f（x）>0
2、x>y，则f（x）=f(x-y)+f(y),故f（x）-f(y)=f(x-y)>0,f（x）>f(y)，所以f(x)是R上的单调递增函数。

Answer 4

1，令 x=0,y=0,代入f(x+y)=f(x)+f(y) 得f(0)=0,则x>0时，即x不等于0时，根据当x不等于y时，f(x)不等于f(y),则x>0时，f(x)不等于0，再令x=y,则f(x^2)=[f(x)]^2>0,推出证明1，至于证明2，f(0)=f(y-y)=f(y)+f(-y),推出f(-y)=-f(y),再令x>y,则f(x-y)=f(x)-f(y)>0,推出证明2.