高斯公式和斯托克斯公式可以一起用吗？

Question

如题所述

Answer 1

理论上，斯托克斯公式和高斯公式可以使用，用完斯托克斯公式是把曲线积分转换为曲线边界的有向曲面积分，这时候再用高斯公式需要添加一个面使其封闭。

但是我猜题主的意思是在做题过程中为什么不能连在一起用，这个问题其实很简单， 我画了一个示意图，L（逆时针）为题目欲求的曲线积分，我们用斯托克斯公式将其转化为曲面S（方向向上，就是一个盖子），这时候要使用高斯公式就需要添加一个面使其封闭，我们不妨添加阴影面D（方向向下），这时候S与D围成的封闭曲面用高斯公式求出来的值一定为零（S和D方向相反，相互抵消了，D也可以看做我们对L另外用的一次斯托克斯公式，只不过差个负号），所以对于做题来说，再用高斯公式没有意义了。