已知在平面直角坐标系中,直线AB经过x轴上点A(-2,0),y轴上点B(0,4),直线y=kx(k<0)

Question

已知在平面直角坐标系中,直线AB经过x轴上点A(-2,0),y轴上点B(0,4),直线y=kx(k＜0)与直线AB交于点D，（1）求直线AB的解析式；（2）求点D的坐标（用含k的字母表示）；（3）x轴上另有一点E（1,0），以AE为直径的⊙C恰好经过点D，求k值；（4）在（3），试问⊙C上是否存在一点G，使得该点到直线AB的距离等于（4√5）/5，若存在，请求出点G的坐标，若不存在，请说明理由。

Answer 1

解（1），
由直线AB过点A(-2,0)，B(0,4)，
得直线AB的截距式：-x/2+y/4=1，
结论：直线AB的解析式为：2x-y+4=0。…….①
解（2），
直线y=kx(k＜0)与直线AB交于点D，设D点坐标（x0，y0）代入两条直线
得：y0=2x0+4
y0=kx0
∵ k＜0，∴ k-2＜-2
解方程组得：x0=4/(k-2)
y0=4k/(k-2)
结论：D的坐标为：D〔4/(k-2)，4k/(k-2)〕。
解（3），
以AE为直径的⊙C恰好经过点D，R=1/2•︱AE︱=1/2•︱1-(-2)︱=3/2
设⊙C的方程：(x+1/2)²+y²=(3/2)²
代入D点坐标：〔4/(k-2)+1/2〕²+〔4k/(k-2)〕²=(3/2)²
解方程得：k=-7/6，或 k=0 (不合题意，舍去）
结论：k= -7/6
解（4），
设直线L∥AB，则L的方程：2x-y+C=0
令L和AB的距离为（4√5）/5，
根据平行线距离公式：d=︱C2-C1︱/|√(A²+B²)得：
(4√5)/5=︱C-4︱/|√(2²+1²)
解得：C=0，或C=8
代入得L：2x-y=0 ……②
2x-y+8=0 ……③
由已知条件，G点在⊙C上。
由图可知，显然③与⊙C不相交。只有②与⊙C相交，且有两个交点。所以，G点存在。
设G点坐标为G(m，n)，
得到方程组： 2m-n=0
(m+1/2)²+n²=(3/2)²
解得：m=(-1±√41)/10
n=(-1±√41)/5
结论：G点有2个，其坐标为：G1：〔(-1+√41)/10，(-1+√41)/5〕
G2：〔(-1-√41)/10，(-1-√41)/5〕

Answer 2

（1）Y=2X+4
（2）4/(k-2)，4k/(k-2)
（3）k=-2，求出两交点坐标即可
（4）很明显存在这样的点，这样的点可能有四个，具体坐标算起来太麻烦了。把直线AB左右平移两个单位。，求交点。这个我忘了求点与直线间的距离了。好多年没用了

Answer 3

由x轴上点A(-2,0),y轴上点B(0,4)
直线AB解析式为
y=2x+4

y=kx与y=2x+4交与点D
泽kx=2x+4
x=4/(k-2) k＜0
y=4k/(k-2)
点D:(4/(k-2),4k/(k-2))

AE=3
则半径为3/2
若AE为直径的⊙C恰好经过点D，则AE的中点与D点的距离为圆的半径
AE中点为（-1/2,0）
3/2=√[-1/2- 4/(k-2)]^2+[4k/(k-2)^2]
两边同时平方，得k=-6/7

圆心(-1/2,0),D点（-7/5,6/5）
取AD的弦中点与圆心的连线，则过圆心且平行于AB的直线距离AB垂直距离就有（4√5）/5，一定存在
作直线AB的平行线，且距离为（4√5）/5且交于圆的直线
根据两直线距离与y轴截距变化的变化关系
设直线y=2x+4-b
S距离=b/√(k^2+1)
（4√5）/5=b/√(4+1)
b=4
y=2x
设圆心到直线两点距离为半径，确立点的位置
(-1/2-x)^2+(2x)^2=9/4
x=(1±√41）/10
G1:(1+√41)/10,(1+√41)/5
G2:(1-√41)/10,(1-√41)/5

Answer 4

（1）、AB斜率K =(4-0)/(0+2) 所以AB方程：y-0=2(x-(-2))即y=2x+4
（2）y=kx、y=2x+4联立 k=4/k-2 、k=4k/k-2
(3) R =3/2 圆心（-1/2，0），所以（4/(k-2）+1/2） +（4k/k-2） =（3/2）
k=-6/7 、k=0(舍去)
（4）存在 G （-1-√41/10 ，-1-√41/5）、G （-1+√41/10，-1+√41/5）
假设存在，则该点在直线y=2x+b 上，距离4√5/5，b=0或8
{ y=2x+b b=8时无符合要求的解
（x+1/2） +y =9/4 b=0时G （-1-√41/10 ，-1-√41/5）、G （-1+√41/10，-1+√41/5）

Answer 5

(1)直线AB的解析式：y=2x+4
(2)x(D)=-4/(2-K) Y(D)=-4K/(2-K) K＜0 （3）∵D在圆上，D也在AB上，AE为直径。∴AB⊥DE（直径上的圆周角为直角）∴K=-1/2（互相垂直的两直线的斜率之积=-1）
（4）设X0,Y0到直线AB的距离=4√5/5
由点到直线距离公式：（2X0-Y0+4）/√5=4√5/5 得X0=0, Y0=0
按题意点G到AB距离=4√5/5，又在圆上。∴点G在过X0,Y0与AB平行的直线上，并与圆的交点。
求Y=2X，与（X+1/2）^2+Y^2=9/4的交点：
X=（-1±√41）/10 X∈[-2,1] Y=（-1±√41)/5
∴G 为[（-1+√41）/10，（-1+√41）/5]和[(-1-√41)/10, (-1-√41)/5]