第1个回答 2012-05-13
证明:(Ⅰ)连接OD,
∵OA=OD,∴∠ODA=∠OAD
∵∠BAC的平分线是AD
∴∠OAD=∠DAC
∴∠DAC=∠ODA,可得OD∥AE…(3分)
又∵DE⊥AE,∴DE⊥OD
∵OD是⊙O的半径
∴DE是⊙O的切线.…(5分)
(Ⅱ)连接BC、DB,过D作DH⊥AB于H,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,
Rt△ABC中,cos∠CAB=ACAB
=3
5
∵OD∥AE,∴∠DOH=∠CAB,
∴cos∠DOH=cos∠CAB=3
5
.
∵Rt△HOD中,cos∠DOH=OH
OD
,
∴OH
OD
=3
5
,设OD=5x,则AB=10x,OH=3x,
∴Rt△HOD中,DH= OD 2
-OH 2
=4x,AH=AO+OH=8x,
Rt△HAD中,AD2= AH 2
+DH 2
=80x2…(8分)
∵∠BAD=∠DAE,∠AED=∠ADB=90°
∴△ADE∽△ADB,可得AD
AE
=AB
AD
,
∴AD2=AE•AB=AE•10x,而AD2=80x2
∴AE=8x
又∵OD∥AE,
∴△AEF∽△ODF,可得AF
DF
=AE
DO
=8
5
…(10分)