求函数的极值有几种常见的方法，下面是其中的三种：
1. 导数法：
首先，计算函数的导数。找到导函数为零或不存在的点，这些点被称为临界点。然后，通过判断临界点的导数符号变化来确定极值类型。如果导数从正变为负，那么该点是极大值点；如果导数从负变为正，那么该点是极小值点。在临界点之外，还需要考虑函数的定义域的边界点。
2. 二阶导数法：
首先，计算函数的一阶和二阶导数。找到使得一阶导数为零或不存在的点，这些点同样被称为临界点。然后，通过二阶导数的符号来确定极值类型。如果二阶导数为正，那么该点是极小值点；如果二阶导数为负，那么该点是极大值点。
3. 完备平方法：
对于一元函数，将其表示为完备平方形式可以帮助我们找到极值点。通过平方完成或配方等技巧，将函数转化为完备平方形式后，可以直接读出函数的极值点。
无论使用哪种方法，都需要注意以下几点：
❶考虑函数的定义域和边界点。
❷注意函数在临界点和边界点的取值情况。
❸确保所得到的极值是局部极值还是全局极值。
函数求极值的应用
函数求极值在数学和实际应用中有广泛的应用，下面列举一些常见的应用场景：
1. 最优化问题
函数求极值是最优化问题的关键。例如，在经济学中，通过求解成本函数或利润函数的极小值来确定最佳生产方案；在工程中，通过求解能量函数的极小值来设计最优控制系统。
2. 概率统计
在统计学中，使用最大似然估计方法，通过求解似然函数的极大值来估计参数；在回归分析中，通过调整模型参数求解使得残差平方和最小的情况，从而得到最佳拟合曲线。
3. 信号处理
在信号处理领域，使用功率谱密度函数的极大值来进行频谱分析和信号滤波。
4. 金融学：
在金融学中，使用投资组合理论中的马科维茨模型，通过求解有效边界上的组合收益最大值或风险最小值来确定最佳资产配置方案。
5. 物理学：
在物理学中，通过求解作用量的极值来得到拉格朗日方程，从而描述物理系统的运动规律。
函数求极值的例题
例题：求函数 f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x 的极值。
解答：
首先，计算函数的导数：f'(x) = 3x^2 - 12x + 9。
令导数等于零，并解方程得到临界点：
3x^2 - 12x + 9 = 0
化简得到：x^2 - 4x + 3 = 0
然后，求解方程得到 x = 1 或 x = 3。
将临界点 x = 1 和 x = 3 代入函数 f(x)，得到对应的函数值 f(1) = 4 和 f(3) = 9。
通过比较函数值，我们可以得出结论：
当 x = 1 时，f(x) 取得极小值 4。
当 x = 3 时，f(x) 取得极大值 9。
因此，函数 f(x) 在 x = 1 处取得极小值 4，在 x = 3 处取得极大值 9。