高中数学不等式的问题 求解答

Question

1.已知函数f(x)=x²-2x-8,g(x)=2x²+13x+20
(1)求使得f(x)＞0,且g(x)≥0的x的取值范围
(2)若对一切x＞2,均有f(x)≥(m+2)x-m-15成立,求实数m的取值范围

2.比较log3(4)和log4(5)的大小

要过程哈

Answer 1

1.(1) f(x)=x²-2x-8>0
即(x-4)(x+2)>0 x<-2或x>4
g(x)=2x²+13x+20≥0
则(2x+5)(x+4)≥0 x≤-4或x≥-5/2
综上：x≤-4或x>4
(2) f(x)=x²-2x-8≥(m+2)x-m-15
即x²-(m+4)x+m+7≥0对一切x>2成立
设y=x²-(m+4)x+m+7
则y为开口向上的抛物线，顶点为最小值
且对称轴x=(m+4)/2>2 m>0
只要顶点≥0成立，其他也能成立
故4(m+7)-(m+4)²≥0
m²+4m-12≤0
-6≤m≤2
综上：0<m≤2
2. ∵log4 (5)/log3 (4)=log4 (5)*log4 (3)
<{[log4 (5)+log4 (3)]/2}² =(1/4)[log4 (5*3)]²
<1/4[log4 (4²)=1
∴log3 (4)>log4 (5)

Answer 2

(1)
x²-2x-8＞0 得：x＞4或x＜-2
2x²+13x+20)≥0 得：x≥8或x≤5
(2)

Answer 3

(1) f(x)=x²-2x-8>0
即(x-4)(x+2)>0 x<-2或x>4
g(x)=2x²+13x+20≥0
则(2x+5)(x+4)≥0 x≤-4或x≥-5/2
综上：x≤-4或x>4
(2) f(x)=x²-2x-8≥(m+2)x-m-15
即x²-(m+4)x+m+7≥0对一切x>2成立
设h(x)=x²-(m+4)x+m+7
①当m+4/2≤2(m≤0)时,x在x＞2单调递增
只要h(2)≥0恒成立,即:4-2(m+4)+m+7≥0
解得m≤3
②同2楼.....
综上:m≤2
(2)也同2楼......

Answer 4

解：由f（x）＞0，解得x＜﹣2或x＞4。由g（x）≥0，解得x≤﹣4或x≥﹣2.5。
求交集得﹣2.5≤x＜﹣2或x＞4
⑵ 由f﹙x﹚≥﹙m＋2﹚x－m－15化简得x²－﹙m＋4﹚x＋m＋7≥0
要保证有，解所以△≥0，解得 m恒有解；又解不等式x²－﹙m＋4﹚x＋m＋7≥0
得　 x≤[﹙m＋4﹚－√△]／2或x≥[﹙m＋4﹚＋√△]／2。由于一切x＞2都要满足上不等式，则[﹙m＋4﹚＋√△]／2＜2
解上式即可。

2、log4(5)/log3(4)=log4(5)*log4(3)<(log4(5)+log4(3)）²/4<2²/4=1
所以，log3（4）大于log4（5）

Answer 5

1：第一题很简单，就是接两个不等式，相当于一个不等式组，x²-2x-8＞0 (x+2)(x-4）＞0
x＞4或x＜-2 2x²+13x+20 ≥0 （2x+5)(x+4)≥0 x≥-5/2 或x≤-4，然后求交集
第二题有点麻烦：f(x)≥(m+2)x-m-15 f(x)≥mx+2x-m-15 f(x)≥m(x-1)+2x-15 f(x)-2x+15≥m(x-1)
由题可知x>2,x-1>0恒成立，就有[f(x)-2x+15]/(x-1)≥m 另F(x)=[f(x)-2x+15]/(x-1) =[x²-2x-8 -2x+15]/(x-1) 求得新函数取值范围后就知道答案了，这是解决恒成立问题