初二几何题，相似三角形。如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，PQ∥AB，点P在AC上（不与A、C重合）点Q

Question

如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，PQ∥AB，点P在AC上（不与A、C重合）点Q在BC上，在AB上存在点M，使得△PQM为等腰直角三角形，请求出PQ的长．
提示：三种情况。

Answer 1

你所说的条件应该不够吧，这样的话不只有3种情况的。
一个是60/37
第二个是60/37
第三个是12跟号2/7
三种情况分别为PQ=PM；PQ=MQ；PM=MQ。又因为PQ∥AB且△PQM为直角三角形，用勾股定理就能算出PQ的长了
易知△ABC斜边上的高为12/5，设PQ＝x
如果PQ是△PQM的斜边，则PQ与AB的距离等于1/2PQ＝1/2x，由△CPQ∽△ABC及相似三角形对应高的比等于相似比可得：x/5＝(12/5－1/2x)/(12/5)，解得：x＝120/49
如果PQ是△PQM的直角边，则PQ与AB的距离等于PQ＝x，同上可得：
x/5＝(12/5－x)/(12/5)，解得：x＝60/37
使△PQM为等腰直角三角形的情况有三种，但PQ为腰的两种情况所求PQ的值相同

M点存在,但取决于点P,Q的位子(也可以说取决于PQ的长度)

演算如下:
AB=5，BC=3，AC=4
所以:三角形ABC为RT三角形,C为直角

按图1
其中PQ=PM,PQ垂直PM,则:三角形PQM为等腰直角三角形

设:PQ=PM=x
因:CE*AB=AC*BC
CE=12/5
因:CD/CE=PQ/AB
((12/5)-x)/(12/5)=x/5
x=60/37
即:当PQ=60/37时,AB上存在一点M使得三角形PQM为等腰直角三角形

按图2
PM=QM,PM垂直QM,则:三角形PQM为等腰直角三角形

设:PQ=2x,则FM=x
因:CD/CE=PQ/AB
((12/5)-x)/(12/5)=2x/5
x=60/49
2x=120/49
即:当PQ=120/49时,AB上存在一点M使得三角形PQM为等腰直角三角形

除以上两种情况外,满足条件的M不存在

Answer 2

易知△ABC斜边上的高为12/5，设PQ＝x
如果PQ是△PQM的斜边，则PQ与AB的距离等于1/2PQ＝1/2x，由△CPQ∽△ABC及相似三角形对应高的比等于相似比可得：x/5＝(12/5－1/2x)/(12/5)，解得：x＝120/49
如果PQ是△PQM的直角边，则PQ与AB的距离等于PQ＝x，同上可得：
x/5＝(12/5－x)/(12/5)，解得：x＝60/37
使△PQM为等腰直角三角形的情况有三种，但PQ为腰的两种情况所求PQ的值相同本回答被提问者采纳

Answer 3

M点存在,但取决于点P,Q的位子(也可以说取决于PQ的长度)

演算如下:
AB=5，BC=3，AC=4
所以:三角形ABC为RT三角形,C为直角

按图1
其中PQ=PM,PQ垂直PM,则:三角形PQM为等腰直角三角形

设:PQ=PM=x
因:CE*AB=AC*BC
CE=12/5
因:CD/CE=PQ/AB
((12/5)-x)/(12/5)=x/5
x=60/37
即:当PQ=60/37时,AB上存在一点M使得三角形PQM为等腰直角三角形

按图2
PM=QM,PM垂直QM,则:三角形PQM为等腰直角三角形

设:PQ=2x,则FM=x
因:CD/CE=PQ/AB
((12/5)-x)/(12/5)=2x/5
x=60/49
2x=120/49
即:当PQ=120/49时,AB上存在一点M使得三角形PQM为等腰直角三角形

除以上两种情况外,满足条件的M不存在

Answer 4

三种情况分别为PQ=PM；PQ=MQ；PM=MQ。又因为PQ∥AB且△PQM为直角三角形，用勾股定理就能算出PQ的长了

Answer 5

一个是60/37
第二个是60/37
第三个是12跟号2/7