要理解数学、哲学与逻辑学的关系，一个好的切入点是19世纪开始的数学哲学的研究。
尽管古希腊的
毕达哥拉斯已经对数学的本质进行过一些思考，但近现代对于数学哲学的系统研究主要是受到
康德（1724-1804）的启发。
康德认为，尽管数学知识与逻辑知识都是通过自省（reflection）获得的可靠的知识，这两种知识却有着本质上的不同。逻辑知识是凭借著自身的意义为真的。比如“猫要么活着要么没有活着“，或者”一个单身汉是单身的“。这些句子的真取决于句子本身的结构或是构成句子的词的定义。康德把像逻辑判断这样凭借自身的意义为真，且通过自省获得的知识，称为先天分析判断（a priori analytic judgment)。 另一方面，虽然数学知识也是通过自省获得的，却不是凭借自身意义为真，比如“2+2=4“或者
费马大定理 （4这个数的定义本身并不包含2）。康德将数学判断称作先天综合判断(a priori synthetic judgment)。先天综合判断和先天分析判断之间的最大区别在于，前者给我们带来了真实的知识，而后者不然（我们通常认为“一个单身汉是单身“是一句废话，而”2+2=4“不是）。康德的
《纯粹理性批判》的核心便是回答了基于数学是先天综合判断这个假设提出的一个问题：先天综合判断是如何可能的？康德在《纯粹理性批判》中对于这个问题的回答虽然别具一格，但却并不令人信服。可以说，康德并没有成功地指出数学知识是如何可能的。
对于这个问题，弗雷格（1848-1925）提出了自己的主张——逻辑主义。弗雷格的学说反对了康德的观点，即数学是先天综合判断，而逻辑是先天分析判断。弗雷格试图证明数学知识也是先天分析判断。更具体的说，弗雷格试图证明，所有数学知识都可以通过逻辑推演获得。弗雷格的主要观点收录在他的著作《概念演算——一种按算术语言构成的思维符号语言》。他证明其论点的具体方法是先提出一套（他认为）正确性不言而喻的集合论（set theory)，然后用这一套集合论证明算数的五条公理，即皮亚诺公理(Peano axioms)。这个方法当然基于一个前提：集合论是（一种）逻辑。可即便基于这个前提，弗雷格的尝试依旧失败了。弗雷格提出的集合论，后世称为朴素集合论（naïve set theory），是不兼容的 (inconsistent)，因为它会推导出罗素悖论。尽管弗雷格的努力宣告失败，许多哲学家和逻辑学家认为弗雷格的失败只是在于选择了错误的集合论作为证明皮亚诺公理的基础，而逻辑主义本身以及弗雷格的研究方法都是正确的。在20世纪初，许多优秀的哲学家和逻辑学家（包括罗素、怀特塞德、泽梅洛、弗兰克）为了证明逻辑主义，提出了各种不同的集合论。 当今最常用的集合论，也是高中数学课本里教的集合论，就是20年代提出的泽梅洛-弗兰克集合论（ZFC set theory)。
不幸的是，哥德尔（1906-1978）在1931年提出的两条不完备定理（Gödel's Incompleteness Theorems)给逻辑主义构建的美好蓝图造成了致命一击。简单来说，哥德尔证明了在任何蕴涵皮亚诺公理的兼容的系统中，总可以构造不能被证明的真命题。也就是说，如果我们的算数体系是兼容的（即不能推导出悖论），那通过逻辑推演不能得到所有算数体系中的真命题。单从这一点来讲，弗雷格和罗素的努力，即证明所有数学真理都能够通过逻辑推导得出，是无效的。换句话说，如果数学是正确的，那不是所有数学知识都是逻辑知识。哥德尔不完备定理的意义如此之大，以至于它常被认为是现代逻辑学中最重要的发现。
在哥德尔提出不完备定理之后，逻辑主义并没有完全销声匿迹，而衍生出了新的学科，比如新逻辑主义（认为大部分数学知识都是逻辑知识）和逆数学（研究逻辑推导出一条数学定理所需要的充分和必要的数学公理）。
以上的讨论忽略了哲学与逻辑学之间的关系，在此我补充一下。在理想的情况下，所有哲学的推演都应该是基于某些假设的逻辑递推。可事实上，逻辑推演只是哲学研究的一小部分，大部分哲学家的贡献往往还是在于提出新颖的/系统的观点或者思维实验（thought experiment）。不可忽视的是，目前确实有越来越多的哲学家开始使用范式系统（formal system）来辅助其思维。通常我们把哲学分为
形而上学（metaphysics）、伦理（ethics），和认知学（epistemology）。逻辑学在哲学中的应用通常集中在后两者，包括范式伦理（formal ethics），语言哲学（philosophy of language)，心灵哲学与人工智能的哲学（philosophy of mind and AI)。
以下是几点小节：
逻辑学是数学与哲学研究的重要工具，逻辑推导是我们获得数学知识和哲学知识的通常途径。
数学是哲学的研究对象之一。
数学本身不能被简化为逻辑学，因为不是所有数学真理都是逻辑真理。
哲学本身也不能被简化为逻辑学，因为逻辑推论只是哲学研究一个部分。
最后关于逻辑学我再想补充两点。
逻辑在所有智能活动中都是不可或缺的，但是我们不能因此声称逻辑是所有学科的本源。数学，哲学，以及其他的所有学科的发展，都需要不同的能力和工具的辅助。
逻辑这个词本身包含着几种含义。平时我们经常会把逻辑本身当成一个不容置疑的体系，因此会说“这个人逻辑性很强“。 可是在逻辑学的研究中，不只有一套逻辑，因此“真”的概念也是相对于某一个逻辑而言的。一个在逻辑A中为真的句子，不一定在逻辑B中为真。在这个广义的范畴内，一套逻辑指的是一套语法（syntax）和一套语义（semantics）。语法规定了什么样的句子是这个逻辑允许的，语义规定了某一个句子的意义或者真值。如果单纯地对逻辑学感兴趣，可以去读一些数学逻辑的教材。
由于题主所提的问题涉及的面非常广，我只能选择我认为核心的方面来回答。回答不完善或不正确的地方，欢迎大家指正。