有理式积分的拆分技巧

Question

如题所述

Answer 1

关于有理式积分的拆分技巧如下：

一、凑部分分式法

被积函数的分母(下简称分母)为不同因式的乘积，试将分子或其一因式写成这些不同因式的组合，再分项积分。

二、分部积分法

常用去分母的分部积分法求之。然后拆分成各因式为分母的分式和，分子用待定系数。

在有意义的情况下，是任何一个赋值都会满足的，因为本身有理式的拆分就是一个恒等式求解的过程，也就是设a(x)=a(x)，那么你无论给左右两边取什么值，只要这个值在a(x)的定义域内，该等式一定成立的。

而且如果不采用赋值法的话，就直接进行同分，最后我们用到的定理叫做多项式恒等定理，效果是一样的。

三、凑微分法

对形如的有理函数的不定积分，常用凑微分法求之。为此先将被积式凑成两项的代数和，其中一项的分子为其分母的微分。

四、部分分式法

有理分式的积分，如不能用上述方法简化计算，当然可用部分分式法将被积函数拆为部分分式，不过计算过程较烦，务必细心，以免出错。确定部分分式中的待定系数，除可用将x的特定值代人的方法外，还可采用在等式两边同乘适当因子后令x趋于某些值而逐个求出的方法，当然也可比较等式两端同次幂系数，用解方程组的方法求出。

扩展资料

不定积分与定积分之间的关系：

根据牛顿-莱布尼茨公式，许多函数的定积分的计算就可以简便地通过求不定积分来进行。这里要注意不定积分与定积分之间的关系：定积分是一个数，而不定积分是一个表达式，它们仅仅是数学上有一个计算关系。

一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而没有不定积分。连续函数，一定存在定积分和不定积分。