如何用微分方程求解开关电源？

Question

如题所述

Answer 1

把电路中的电容、电感、电阻分别表示为C、L、R，开关处的电压为Vs，电路中的电流为i(t)。
根据题目描述，t < 0 时电路处于稳定，所以电容上的电压为0，即VC(0-) = 0。因此，根据电容的基本公式VC(0+) = VC(0-) = 0。
在开关合并瞬间，电感L会产生反电动势VL，电容C上的电压VC开始充电，根据基尔霍夫电压定律可得：
Vs - VL - VC = 0
VL = L(di/dt)
VC = (1/C)∫i(t)dt
将上述公式代入基尔霍夫电压定律中可得：
Vs - L(di/dt) - (1/C)∫i(t)dt = 0
整理可得：
(di/dt) + (R/L)i(t) + (1/LC)∫i(t)dt = (Vs/L)
这是一个常系数线性微分方程，可以使用标准的方法求解。由于这里只需要求i(t)的和，我们可以直接使用拉普拉斯变换法求解。
对方程两边进行拉普拉斯变换可得：
sI(s) - i(0) + (R/L)I(s) + (1/LC)(1/s)I(s) = (Vs/L)(1/s)
化简可得：
I(s) = (Vs/L)/(s^2 + sR/L + 1/LC)
现在需要将I(s)进行反演，得到i(t)的表达式。可以使用部分分式分解法和拉普拉斯反演公式求解。这里直接给出结果：
i(t) = (Vs/L)exp(-Rt/2L)sin(sqrt(1/(LC) - (R/2L)^2)t)u(t)
其中，u(t)是单位阶跃函数。